Die Taylor-Reihe ist eine Reihe von Potenzen, die sich bis ins Unendliche erstrecken, wobei jeder der Addenden auf eine Potenz größer als der vorherige angehoben wird.
Jedes Element der Taylor-Reihe entspricht der n-ten Ableitung der Funktion f, die am Punkt a ausgewertet wird, zwischen der Fakultät von n (n!), Und das alles multipliziert mit x-a hoch n.
Formal oder mathematisch hat die Taylor-Reihe die folgende Form:
Um die Taylor-Reihe besser zu verstehen, müssen wir bedenken, dass a ein Punkt auf einer Tangente an die Funktion f ist. Diese Linie kann wiederum als lineare Funktion ausgedrückt werden, deren Steigung die gleiche Steigung wie die Funktion f im Punkt a hat.
Ein weiterer zu beachtender Aspekt ist, dass f eine n-mal differenzierbare Funktion an Punkt a ist. Wenn n unendlich ist, ist es eine unendlich differenzierbare Funktion.
In einem besonderen Fall, wenn a = 0 ist, wird die Reihe auch McLaurin-Reihe genannt.
Differenz zwischen Reihe und Taylor-Polynom
Der Unterschied zwischen Reihe und Taylor-Polynom besteht darin, dass wir im ersten Fall von einer unendlichen Folge sprechen, während es im zweiten Fall eine endliche Reihe ist.
Somit kann das Taylor-Polynom als polynomische Approximation einer n-mal differenzierbaren Funktion an einem bestimmten Punkt (a) definiert werden.
Beispiele für Taylor-Reihen
Einige Beispiele für Variationen der Taylor-Reihe sind:
- Exponentialfunktion:
- Trigonometrische Funktionen:
Anwendungen der Taylor-Reihe
Einige Anwendungen der Taylor-Reihe sind:
- Grenzwertanalyse.
- Analyse von stationären Punkten oder Stuhlpunkten in Funktionen.
- Anwendung im Satz von L'Hopital (zur Lösung von Grenzwerten).
- Integrale Schätzung.
- Abschätzung von Konvergenzen und Divergenzen bestimmter Reihen.
- Analyse von finanziellen Vermögenswerten und Produkten, wenn der Preis als nichtlineare Funktion ausgedrückt wird.