Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist nach seiner geometrischen Definition die Multiplikation ihrer Module mit dem Kosinus des von beiden Vektoren gebildeten Winkels.
Mit anderen Worten, das Skalarprodukt zweier Vektoren soll das Produkt aus den Modulen beider Vektoren und dem Kosinus des Winkels bilden.
Skalare Produktformel
Bei zwei Vektoren berechnet sich das Skalarprodukt wie folgt:
Es wird Skalarprodukt genannt, weil das Ergebnis des Moduls immer ein Skalar ist, so wie es auch der Kosinus eines Winkels ist. Das Ergebnis dieser Multiplikation ist eine Zahl, die eine Größe ausdrückt und keine Richtung hat. Mit anderen Worten, das Ergebnis des Skalarprodukts ist eine Zahl, kein Vektor. Daher werden wir die resultierende Zahl als eine beliebige Zahl und nicht als einen Vektor ausdrücken.
Um die Größe jedes Vektors zu kennen, wird der Modul berechnet. Wenn wir also den Betrag eines der Vektoren (v) mit dem Betrag des anderen Vektors (a) mit dem Kosinus des Winkels multiplizieren, den beide bilden, wissen wir, wie viel die beiden Vektoren insgesamt messen.
Der Modul des Vektors (v) mal Cosinus des Winkels wird auch als Projektion des Vektors v auf den Vektor a bezeichnet.
Siehe eine andere Möglichkeit, das Skalarprodukt zweier Vektoren zu berechnen
Prozess
- Berechnen Sie die Module der Vektoren.
Gegeben einen beliebigen Vektor mit drei Dimensionen,
Die Formel zur Berechnung des Moduls eines Vektors lautet:
Jeder Index des Vektors gibt die Dimensionen an, in diesem Fall ist der Vektor (a) ein dreidimensionaler Vektor, da er drei Koordinaten hat.
2. Berechnen Sie den Kosinus des Winkels.
Beispiel für das Skalarprodukt zweier Vektoren
Berechnen Sie das Skalarprodukt der folgenden dreidimensionalen Vektoren mit dem Wissen, dass der Winkel, den sie bilden, 45 Grad beträgt.
Um das Skalarprodukt zu berechnen, müssen wir zunächst den Modul der Vektoren berechnen:
Nachdem wir die Module der beiden Vektoren berechnet haben und wir den Winkel kennen, brauchen wir sie nur noch zu multiplizieren:
Daher beträgt das Skalarprodukt der vorherigen Vektoren 1.7320 Einheiten.
Graph
Die folgenden Vektoren würden in einem dreidimensionalen Graphen wie folgt aussehen:
Für den Vektor (c) können wir sehen, dass die z-Komponente null ist und daher parallel zur Abszissenachse verläuft. Stattdessen ist die z-Komponente des Vektors (b) positiv, sodass wir sehen können, wie sie nach oben geneigt ist. Beide Vektoren liegen bezüglich der Komponente im Quadranten der Positiven, da diese positiv und gleich sind.
