Laplace-Regel - Was ist das, Definition und Konzept

Die Laplace-Regel ist eine Methode, mit der Sie die Determinante einer quadratischen Matrix mit der Dimension 3 × 3 oder größer mithilfe einer rekursiven Entwicklungsreihe schnell berechnen können.

Mit anderen Worten, die Regel von Laplace faktorisiert die Anfangsmatrix in niedrigerdimensionale Matrizen und passt ihr Vorzeichen basierend auf der Position des Elements in der Matrix an.

Diese Methode kann mit Zeilen oder Spalten durchgeführt werden.

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Regelformel von Laplace

Gegeben eine Matrix Z_mxn jede Dimension mxn,mit m = n expandiert sie bezüglich der i-ten Zeile, dann gilt:

D_ijist die Determinante, die durch Eliminieren der i-ten Zeile und der i-ten Spalte von erhalten wird Z_mxn.

M_ijist das i, j-th Weniger. Die Determinante D_ijin Funktion von M_ijheißt das i, j-th Cofaktorder Matrix Z_mxn.
zu ist die Vorzeicheneinstellung der Position.

Theoretisches Beispiel der Laplace-Regel

Wir definieren ZU_3×3 Was:

Beginnen wir mit dem ersten Element a₁₁. Wir reiben die Zeilen und Spalten, die sich ausmachen₁₁. Die Elemente, die ohne Gitter bleiben, sind die erste Determinante Weniger multipliziert mit a₁₁.

2. Wir fahren mit dem zweiten Element der ersten Reihe fort, also zu₁₂. Wir wiederholen den Vorgang: Wir reiben die Zeilen und Spalten, die . enthalten₁₂.

Wir passen das Vorzeichen des Molls an:

Wir addieren die zweite Determinante Wenigerzum vorherigen Ergebnis und wir bilden eine Erweiterungsreihe, so dass:

3. Wir fahren mit dem dritten Element der ersten Reihe fort, also zu₁₃. Wir wiederholen den Vorgang: Wir reiben die Zeile und Spalte, die enthalten₁₃.

Wir addieren die dritte Determinante Weniger zum vorherigen Ergebnis und wir erweitern die Erweiterungsreihe so, dass:

Da in der ersten Zeile keine Elemente mehr vorhanden sind, schließen wir den rekursiven Prozess ab. Wir berechnen die Determinanten Minderjährige.

Genauso wie Elemente aus der ersten Zeile verwendet wurden, kann diese Methode auch mit Spalten angewendet werden.

Praxisbeispiel der Laplace-Regel

Wir definieren ZU_3×3Was:

1. Beginnen wir mit dem ersten Element r₁₁= 5. Wir reiben die Zeilen und Spalten, die sich ausmachen₁₁= 5. Die Elemente, die ohne Gitter bleiben, sind die erste Determinante Weniger multipliziert mit a₁₁=5.

2. Wir fahren mit dem zweiten Element der ersten Reihe fort, also r₁₂= 2. Wir wiederholen den Vorgang: Wir reiben die Zeilen und Spalten, die r . enthalten₁₂=2.

Wir passen das Vorzeichen des Molls an:

Wir addieren die zweite Determinante Weniger zum vorherigen Ergebnis und wir bilden eine Erweiterungsreihe, so dass:

3. Wir fahren mit dem dritten Element der ersten Reihe fort, also r₁₃= 3. Wir wiederholen den Vorgang: Wir reiben die Zeile und Spalte, die r . enthalten₁₃=3.