Fraktale Geometrie ist der Zweig der Geometrie, der Fraktale untersucht. Dies sind komplexe Objekte mit einer Struktur, die sich wiederholt, wenn wir sie in verschiedenen Maßstäben betrachten.
Fraktale bestehen also aus Teilen, die dem Ganzen ähnlich sind und unregelmäßige Strukturen darstellen. Denken wir an einen Brokkolikopf, der beim Aufteilen in mehrere kleinere Brokkoli aufgeteilt wird.
Die fraktale Geometrie entstand aus der Notwendigkeit einer besseren Annäherung an die Realität, da die ebene Geometrie und die Geometrie des Weltraums Figuren und Körper untersuchen, die wir in der Natur sehr selten finden.
Bedenken Sie, dass Berge keine Kegel sind und dass selbst die Pyramiden Ägyptens, wenn wir sie genau betrachten, bestimmte Unregelmäßigkeiten auf ihrer Oberfläche aufweisen. Diese Unvollkommenheiten werden mit der Qualität der Rauheit bezeichnet, und es ist eine Eigenschaft, die Objekten, die nicht mehr nur Umfang, Fläche und Volumen haben, fraktale Geometrie hinzufügt.
Ursprung der fraktalen Geometrie
Der Ursprung der fraktalen Geometrie wird durch den Mathematiker Benoit Mandelbrot sowie sein größtes literarisches Werk: "Fractal Geometry of Nature", veröffentlicht im Jahr 1982, vorangetrieben.
Das Wort Fraktal kommt vom lateinischen Wort "fractus", was gebrochen oder gebrochen bedeutet und wurde 1975 von Mandelbrot geprägt.
Es ist erwähnenswert, dass Mandelbrot, obwohl er das Studium der fraktalen Ökonomie formalisiert hat, nicht der erste war, der die Existenz von Fraktalen in der Natur bemerkte. Wenn wir uns zum Beispiel das Werk des bekannten japanischen Malers Katsushika Hokusai ansehen, werden wir feststellen, dass dieses Konzept angewendet wird (und Mandelbrot selbst hat es in einem Interview erwähnt). Im Gemälde "Die große Welle" beobachten wir beispielsweise, wie sich innerhalb der Welle andere kleinere Wellen befinden.
Eigenschaften eines Fraktales
Die Hauptmerkmale eines Fraktales sind die folgenden:
- Selbstähnlichkeit: Es bezieht sich auf das, was wir bereits zuvor erwähnt haben. Wenn wir einen Teil des Fraktals in größerem Maßstab (genauer) betrachten, sieht es genauso aus wie das gesamte Objekt. Das heißt, der Teil ist dem Ganzen ähnlich, obwohl dies nicht immer genau zutrifft. Stellen wir uns zum Beispiel eine Raute vor, die aus vielen kleinen Rauten besteht. Obwohl die Größe dieser Rauten etwas variiert, wäre es ein Fraktal.
- Die fraktale Dimension ist nicht gleich der topologischen Dimension: Um die topologische Dimension zu erklären, stellen wir uns eine Ebene vor, die in Gitter unterteilt ist, wie ein Netz. Also zeichne ich eine Linie, die durch 2 Raster geht. Wenn ich alle Maschengitter in zwei Teile unterteile, würde die Linie durch 4 Gitter gehen. Das heißt, es wird mit 2 multipliziert, was dem auf 1 angehobenen Reduktionsfaktor (2) entspricht (2 = 21), die die Redundanz wert ist, ist die Anzahl der Dimensionen der Leitung. Wenn wir nun ein Polygon haben, eine zweidimensionale Figur, passiert etwas Ähnliches. Wenn wir beispielsweise ein Quadrat haben, das sich über vier Raster erstreckt, und wir erneut einen Reduktionsfaktor von 2 anwenden, wird das Quadrat 16 Raster umfassen. Das heißt, die Anzahl der Gitter (4) wird mit 4 multipliziert, was 2 auf 2 erhöht (2 = 22), wobei der Exponent die Anzahl der Dimensionen im Quadrat ist. All dies gilt jedoch nicht für Fraktale.
- Sie sind an keiner Stelle unterscheidbar: Mathematisch bedeutet dies, dass die Ableitung der dargestellten Funktion nicht berechnet werden kann. Visuell bedeutet dies, dass der Graph nicht kontinuierlich ist, sondern Spitzen aufweist, sodass die Ableitung nicht möglich ist.
Anwendung fraktaler Geometrie
Fraktale Geometrie kann in verschiedenen Bereichen angewendet werden. 1940 hatte Lewis Fry Richardson beispielsweise beobachtet, dass sich verschiedene Grenzen zwischen Land und Land je nach Messmaßstab änderten. Das heißt, wenn wir eine geografische Kontur messen, unterscheidet sich das Ergebnis je nach Länge des verwendeten Lineals. Dies diente Mandelbrot als Referenz in seinem 1967 in der Zeitschrift Science veröffentlichten Artikel: "Wie lang ist die Küste Großbritanniens?"
Dies kann erklärt werden, wenn wir berücksichtigen, dass die geografischen Gebiete Fraktale sind und wir, wenn wir sie in größerem Maßstab sehen, mehr Unregelmäßigkeiten feststellen.
Eine weitere Anwendung der fraktalen Geometrie ist die Analyse seismischer Bewegungen und Bewegungen im Aktienmarkt.
Darüber hinaus müssen wir anerkennen, dass Fraktale Künstlern wie dem oben genannten Hokusa als Inspiration gedient haben, und wir haben auch den Fall von Jackson Pollock.