Curtosis - Was ist das, Definition und Konzept

Die Kurtosis ist ein statistisches Maß, das den Konzentrationsgrad bestimmt, den die Werte einer Variablen um die zentrale Zone der Häufigkeitsverteilung herum aufweisen. Es wird auch als Targeting-Maßnahme bezeichnet.

Wenn wir eine Zufallsvariable messen, sind die Ergebnisse mit der höchsten Häufigkeit im Allgemeinen diejenigen um den Mittelwert der Verteilung. Stellen wir uns die Größe der Schüler in einer Klasse vor. Wenn die durchschnittliche Größe der Klasse 1,72 cm beträgt, ist es am normalsten, dass die Körpergröße der übrigen Schüler um diesen Wert herum liegt (mit einer gewissen Variabilität, aber ohne zu groß zu sein). In diesem Fall gilt die Verteilung der Zufallsvariablen als normalverteilt. Angesichts der Unendlichkeit von Variablen, die gemessen werden können, ist dies jedoch nicht immer der Fall.

Es gibt einige Variablen, die einen höheren Konzentrationsgrad (geringere Streuung) der Werte um ihren Mittelwert aufweisen, und andere hingegen weisen einen geringeren Konzentrationsgrad (größere Streuung) ihrer Werte um ihren Mittelwert auf. Daher informiert uns die Kurtosis darüber, wie spitz (höhere Konzentration) oder abgeflacht (niedrigere Konzentration) eine Verteilung ist.

Maße der zentralen TendenzKumulative Häufigkeit

Arten von Kurtosis

Je nach Grad der Kurtosis gibt es drei Arten von Verteilungen:

1. Leptokurtisch: Es gibt eine große Konzentration von Werten um ihren Mittelwert (g₂>3)

2. Mesokurtik: Es gibt eine normale Konzentration von Werten um ihren Mittelwert (g₂=3).

3. Platicúrtica: Es gibt eine geringe Konzentration der Werte um ihren Mittelwert (g₂<3).

Kurtose-Messungen laut Daten

Je nach Gruppierung oder Nicht-Gruppierung der Daten wird die eine oder andere Formel verwendet.

Nicht gruppierte Daten:

Daten gruppiert in Häufigkeitstabellen:

Daten gruppiert in Intervallen:

Beispiel für die Berechnung der Kurtosis für nicht gruppierte Daten

Angenommen, wir wollen die Kurtosis der folgenden Verteilung berechnen:

8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.

Wir berechnen zunächst das arithmetische Mittel (µ), das 7,69 betragen würde.

Als nächstes berechnen wir die Standardabweichung, die 2,43 wäre.

Nachdem diese Daten vorliegen und zur Vereinfachung der Berechnung, kann eine Tabelle erstellt werden, um den Teil des Zählers (viertes Moment der Verteilung) zu berechnen. Für die erste Berechnung wäre es: (Xi-µ) 4 = (8-7.69) 4 = 0,009.

Daten	(Xi-µ) 4
8	0,0090
5	52,5411
9	2,9243
10	28,3604
12	344,3330
7	0,2297
2	1049,9134
6	8,2020
8	0,0090
9	2,9243
10	28,3604
7	0,2297
7	0,2297
N = 13	∑ = 1.518,27

Sobald wir diese Tabelle erstellt haben, müssen wir einfach die zuvor exponierte Formel anwenden, um die Kurtosis zu erhalten.

G₂ = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34

In diesem Fall seit g₂ größer als 3 ist, wäre die Verteilung leptokurtisch und weist eine stärkere Ausrichtung als die Normalverteilung auf.

Übermäßige Kurtosis

In einigen Handbüchern wird Kurtosis als überschüssige Kurtosis dargestellt. In diesem Fall wird sie direkt mit der Normalverteilung verglichen. Da die Normalverteilung die Kurtosis 3 hat, müssten wir für den Exzess nur 3 von unserem Ergebnis abziehen.

Überschüssige Kurtosis = g₂-3 = 3,34-3 = 0,34.

Die Interpretation des Ergebnisses wäre in diesem Fall wie folgt:

G₂-3> 0 -> leptokurtische Verteilung.

G₂-3 = 0 -> mesokortikale (oder normale) Verteilung.

G₂-3 plastische Verteilung.

Beschreibende Statistik