Die Varianz ist ein Streuungsmaß, das die Variabilität einer Datenreihe in Bezug auf ihren Mittelwert darstellt. Formal wird sie als Summe der quadrierten Residuen dividiert durch die Gesamtzahl der Beobachtungen berechnet.
Sie kann auch als Quadrat der Standardabweichung berechnet werden. Unter dem Residuum verstehen wir übrigens die Differenz zwischen dem Wert einer Variablen zu einem Zeitpunkt und dem Mittelwert der gesamten Variablen.
Alle Dispersionsmaße anzeigenBevor wir uns die Varianzformel ansehen, müssen wir sagen, dass die Varianz in der Statistik sehr wichtig ist. Denn obwohl es sich um ein einfaches Maß handelt, kann es viele Informationen über eine bestimmte Variable liefern.
Formel zur Berechnung der Varianz
Die Maßeinheit der Varianz ist immer die Maßeinheit, die den Daten entspricht, jedoch quadriert. Die Varianz ist immer größer oder gleich Null. Da die Residuen quadriert werden, ist es mathematisch unmöglich, dass die Varianz negativ wird. Und so kann es nicht kleiner als Null sein.
Wo
- X: Variable, für die die Varianz berechnet werden soll
- xich: Beobachtungsnummer i der Variablen X. i kann Werte zwischen 1 und n annehmen.
- n: Anzahl der Beobachtungen.
- x̄: Es ist der Mittelwert der Variablen X.
Oder was ist gleich:
Warum werden die Residuen quadriert?
Der Grund, warum die Residuen quadriert werden, ist einfach. Wenn sie nicht quadriert würden, wäre die Summe der Residuen null. Es ist eine Abfalleigenschaft. Um dies zu vermeiden, werden sie wie bei der Standardabweichung quadriert. Das Ergebnis ist die Maßeinheit, in der die Daten gemessen, aber quadriert werden.
Hätten wir beispielsweise Daten zu den Löhnen einer Gruppe von Personen in Euro, wären die Daten, die die Varianz angeben, in Quadrat-Euro. Damit die Interpretation sinnvoll ist, würden wir die Standardabweichung berechnen und die Daten in Euro übertragen.
- Abweichung -> (2-3) = -1
- Abweichung -> (4-3) = 1
- Abweichung -> (2-3) = -1
- Abweichung -> (4-3) = 1
- Abweichung -> (2-3) = -1
- Abweichung -> (4-3) = 1
Wenn wir alle Abweichungen addieren, ist das Ergebnis null.
RangWas ist der Unterschied zwischen der Varianz und der Standardabweichung?
Eine Frage, die man sich mit gutem Grund stellen könnte, wäre der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung. In Wirklichkeit messen sie dasselbe. Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Umgekehrt ist die Standardabweichung die Quadratwurzel der Varianz.
Die Standardabweichung wird gemacht, um in den ursprünglichen Maßeinheiten arbeiten zu können. Natürlich kann man sich wie üblich fragen, was nützt es, Varianz als Konzept zu haben? Nun, obwohl uns die Interpretation des zurückgegebenen Wertes nicht viele Informationen liefert, ist seine Berechnung notwendig, um den Wert anderer Parameter zu erhalten.
Um die Kovarianz zu berechnen, benötigen wir die Varianz und nicht die Standardabweichung, um einige ökonometrische Matrizen zu berechnen, wird die Varianz verwendet und nicht die Standardabweichung. Es ist eine Frage des Komforts, mit den Daten nach welchen Berechnungen zu arbeiten.
Beispiel für eine Abweichungsberechnung
Wir werden eine Reihe von Daten über Löhne prägen. Wir haben fünf Leute, jeder mit einem anderen Gehalt:
Juan: 1.500 Euro
Pepe: 1.200 Euro
José: 1.700 Euro
Miguel: 1.300 Euro
Mateo: 1.800 Euro
Das Durchschnittsgehalt, das wir für unsere Berechnung benötigen, beträgt ((1.500 + 1.200 + 1.700 + 1.300 + 1.800) / 5) 1.500 Euro.
Da die Varianzformel in ihrer zerlegten Form wie folgt formuliert ist:
Wir erhalten, dass es so berechnet werden muss, dass:
Das Ergebnis sind 52.000 Euro zum Quadrat. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass wir jedes Mal, wenn wir die Varianz berechnen, die Maßeinheiten quadrieren. Um es in Euro umzurechnen, müssten wir in diesem Fall die Standardabweichung durchführen. Das ungefähre Ergebnis wäre 228 Euro. Dies bedeutet, dass der Unterschied zwischen den Gehältern der verschiedenen Personen im Durchschnitt 228 Euro beträgt.