Die Schnittmenge von Ereignissen ist eine Operation, deren Ergebnis aus den sich nicht wiederholenden und gemeinsamen Ereignissen von zwei oder mehr Mengen besteht.
In einfacheren Worten sagen wir bei zwei Ereignissen A und B, dass ihr Schnitt aus den gemeinsamen Elementarereignissen besteht. Wir könnten auch darauf hinweisen, dass der Schnittpunkt von Ereignissen die Beantwortung der Frage impliziert: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig auftreten?
Das Symbol, mit dem der Schnittpunkt bezeichnet wird, ist das folgende: ∩. Es ist wie ein umgekehrtes U. Wenn wir also den Durchschnitt von A und B bezeichnen wollen, würden wir setzen: A ∩ B
Verallgemeinerung der Schnittmenge von Ereignissen
In der Erklärung haben wir bisher den Schnittpunkt zweier Ereignisse gesehen. Zum Beispiel A B oder B ∩ A. Was passiert nun, wenn wir mehr als zwei Ereignisse haben?
Die Verallgemeinerung der Schnittmenge von Ereignissen gibt uns eine Lösung, um die Schnittmenge von beispielsweise 50 Ereignissen zu bezeichnen. Angenommen, wir haben 7 Ereignisse, verwenden wir die folgende Notation:
Anstatt jedes Ereignis A, B oder irgendeinen Buchstaben zu nennen, werden wir Ja nennen. S ist das Ereignis und das tiefgestellte i gibt die Zahl an. Auf diese Weise erhalten wir im Beispiel von 7 Ereignissen die folgende Formel:
Wir haben die Notation entwickelt. Es ist einfach zu sehen, was es bedeutet, aber nur wenn Sie das Gleiche vorwegnehmen, werden Sie wissen, was diese Entwicklung bedeutet. Oben würden wir intuitiv sagen „S1-Ausfahrt und S2-Ausfahrt und S3-Ausfahrt und S4-Ausfahrt und S5-Ausfahrt und S6-Ausfahrt und S7-Ausfahrt“. Das heißt, sie wären die gemeinsamen Elemente, die die 7 Ereignisse haben.
Schnittmenge von disjunkten und nichtdisjunkten Ereignissen
Der Schnittpunkt disjunkter Ereignisse kann einfach nicht existieren. Wenn zwei Ereignisse disjunkt sind, werden wir natürlich sagen, dass sie keine gemeinsamen Elemente haben. Und wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben, ist das Ergebnis die leere Menge oder das unmögliche Ereignis.
Bei nicht disjunkten Ereignissen sind die gemeinsamen Elemente das Ergebnis der Schnittmenge. Sehen wir uns ein Beispiel an, warum der Schnittpunkt von disjunkten Ereignissen nicht existieren kann:
Angenommen, wir haben einen Probenraum bestehend aus (1,2,3,4,5,6) wobei:
A: Lass 1 oder 2 kommen (1,2)
B: Das ergibt größer oder gleich 5 (5,6)
A ∩ B = Ø
Es gibt keine Kreuzung. Es ist ein unmögliches Ereignis. Dies geschieht, weil die Ereignisse unzusammenhängend sind. Das heißt, sie haben keine gemeinsamen Elemente.
Der Schnittpunkt nicht disjunkter Ereignisse wird seinerseits wie folgt berechnet:
Eigenschaften der Schnittmenge von Ereignissen
Die Vereinigung von Ereignissen ist eine Art mathematischer Operation. Einige Operationsarten sind auch Addition, Subtraktion, Multiplikation. Jeder von ihnen hat eine Reihe von Eigenschaften. Wir wissen zum Beispiel, dass das Ergebnis der Addition von 3 + 4 genau das gleiche ist wie das der Addition von 4 + 3. An dieser Stelle hat die Ereignisvereinigung mehrere wissenswerte Eigenschaften:
- Kommutativ: Dies bedeutet, dass die Reihenfolge, in der es geschrieben wird, das Ergebnis nicht ändert. Beispielsweise:
- A ∩ B = B ∩ A
- C D = D ∩ C
- Assoziativ: Angenommen, es gibt drei Ereignisse, ist es uns egal, welches zuerst und welches als nächstes durchgeführt wird. Beispielsweise:
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
- (A C) U B = (A ∩ B) ∩ C
- Verteilend: Wenn wir den Schnitttyp der Operation einbeziehen, gilt die Verteilungseigenschaft. Schauen Sie sich einfach das folgende Beispiel an:
- A ∩ (B U C) = (A U B) U (A U C)
Wenn wir uns diese Eigenschaften ansehen, können wir leicht erkennen, dass sie genau dieselben sind wie im Fall der Event-Union.
Beispiel für eine Ereigniskreuzung
Ein einfaches Beispiel für die Vereinigung zweier Ereignisse A und B wäre das folgende. Nehmen wir den Fall des Wurfs eines perfekten Würfels an. Ein Würfel mit sechs Seiten, die von 1 bis 6 nummeriert sind, so dass die Ereignisse wie folgt definiert sind:
ZU: Dass es größer als 2 ist. (3,4,5,6) mit Wahrscheinlichkeit ist 4/6 => P (A) = 0,67
C: Lass fünf herauskommen. (5) mit Wahrscheinlichkeit ist 1/6 => P (C) = 0.17
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A C?
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) - P (A U C)
Da P (A) und P (C) es bereits haben, berechnen wir P (A U C)
A U C = (3,4,5,6) in Wahrscheinlichkeiten P (A U C) = 4/6 = 0,67
Das Endergebnis ist:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,67 = 0,17 (17%)
Die Wahrscheinlichkeit, dass es größer als 2 und gleichzeitig fünf herauskommt, beträgt 17%.
