Natürlicher Logarithmus - Was ist das, Definition und Konzept

Der natürliche Logarithmus ln (x) ist die Umkehrung der Exponentialfunktion und in x nur für positive reelle Zahlen definiert.

Intuitiv soll der natürliche Logarithmus die folgende Gleichung lösen:

und^Ja= x

Wobei 'y' das gesuchte Ergebnis wäre. Das heißt, wenn x gleich 20 ist, wie viel "y" wert sein muss, wenn es auf "e" erhöht wird, damit die Gleichung erfüllt wird. Zum Beispiel das Ergebnis von ln (20)

und^Ja= 20 ⇒ y = 3

Wenn man bedenkt, dass die Zahl 'e' 2,7182818 wert ist, überprüfen wir, dass, wenn wir sie auf 3 erhöhen, das Ergebnis tatsächlich 20,07 ist. Dies liegt daran, dass der natürliche Logarithmus von 20 tatsächlich 2,99 beträgt. Aber in diesem Beispiel haben wir 3 verwendet, um es einfacher zu machen.

Bereich des natürlichen Logarithmus

Mathematisch ist der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus:

(x ∈ ℜ: x> 0)

Das heißt, x muss eine reelle Zahl größer Null sein. Andernfalls existiert die Funktion nicht. Der Weg, dies zu überprüfen, ist ehrlich gesagt einfach. Wir müssen es nur mit einer Zahl überprüfen, die null oder kleiner ist. Beispielsweise:

und^Ja= 0 ⇒ y = Es gibt kein Ergebnis

Es gibt keine 'y'-Zahl, die, wenn sie auf 'e' erhöht wird, zu Null führt. Wir können der Null sehr nahe kommen, aber das Ergebnis wird nie Null sein.

Genauer können wir die Definition über positive reelle Zahlen hinaus auf komplexe Zahlen erweitern. Für jedes negative reelle x würden wir definieren, wobei effektiv ich entspricht der Quadratwurzel von (-1). Dies ist jedoch eine weiterführende Anmerkung und es ist nicht zielführend, in dieser Erklärung Details zu komplexen Zahlen zu geben.

Grafische Darstellung des natürlichen Logarithmus

Die grafische Darstellung dieser Funktion ist:

Denken Sie daran, dass die Funktion, die wir darstellen, und^Ja= x, sehen wir, dass sich mit dem Wert von 'y' auch der von 'x' ändert. Lassen Sie uns überprüfen, ob der Graph der Gleichung entspricht. Wir können sehen, dass, wenn 'y' Null ist, 'x' gleich 1 ist. Anwendung der Gleichung:

und^Ja= 0 ⇒ e⁰=1

Tatsächlich wissen wir in der Mathematik, dass jede Zahl, die auf 0 erhöht wird, zu 1 führt.

Bewerbung in Finanz- und Wirtschaftswissenschaften

Im Finanzbereich werden nur positive Realwerte berücksichtigt, da sie normalerweise zur fortlaufenden Berechnung der Renditen der notierten Preise von Finanzanlagen verwendet werden. Preise sind in der Regel positiv, erfüllen also die Einschränkung (x> 0), wobei x in diesem Fall der Preis ist.

Die häufigste Anwendung in der Wirtschaftswissenschaft findet sich in ökonometrischen Analysen, wo einfache und / oder mehrfache Regressionen Logarithmen in die Gleichungen einbeziehen, um unter anderem Stabilität in den Regressoren zu schaffen, atypische Beobachtungen zu reduzieren und unterschiedliche Ansichten der Schätzung zu etablieren. .

Letztendlich werden natürliche Logarithmen in der Ökonometrie verwendet, um die durchzuführenden Operationen zu erleichtern. Logarithmen haben bestimmte Eigenschaften, die es ermöglichen, komplexe mathematische Operationen relativ schnell und einfach durchzuführen.