Lineare Programmierung ist eine Methode, mit der eine Zielfunktion optimiert wird, entweder durch Maximieren oder Minimieren, wobei die Variablen mit 1 potenziert werden. Dies unter Berücksichtigung unterschiedlicher gegebener Einschränkungen.
Lineare Programmierung ist also ein Prozess, durch den eine lineare Funktion maximiert wird. Das heißt, eine Gleichung ersten Grades, bei der die Variablen mit 1 potenziert werden.
Wir müssen uns daran erinnern, dass dieser Gleichungstyp eine mathematische Gleichheit ist, die eine oder mehrere Unbekannte haben kann. Somit hat es die folgende Grundform, wobei a und b die Konstanten sind, während x und y die Variablen sind.
ax + b = y
Durch lineare Programmierung könnte diese Funktion nun optimiert werden, um den maximalen oder minimalen Wert von y zu finden. Dies unter Berücksichtigung, dass x gewissen Einschränkungen unterliegt. Vielleicht ist es zum Beispiel größer als 0 und kleiner als 20.
Elemente der linearen Programmierung
Die Hauptelemente der linearen Programmierung sind die folgenden:
- Zielfunktion: Es ist die Funktion, die optimiert wird, entweder durch Maximieren oder Minimieren ihres Ergebnisses.
- Beschränkungen: Dies sind die Bedingungen, die bei der Optimierung der Zielfunktion erfüllt sein müssen. Es können algebraische Gleichungen oder Ungleichungen sein.
Übung zur linearen Programmierung
Sehen wir uns zum Abschluss eine Übung zur linearen Programmierung an.
Angenommen, wir haben die folgende Funktion, die den Nutzen ausdrückt, den eine Person beim Erwerb bestimmter Produkte erhält, nämlich der Nutzen U und die Produkte x und y.
U = 4x + 7y
Ebenso unterliegt das Individuum einer Budgetbeschränkung, wobei sein Budget 70 Geldeinheiten (cu) beträgt und die Preise der Produkte x und y 6 bzw. 14 cu betragen.
70≥6x + 14y
Wenn wir in diesem Fall die Funktionen graphisch darstellen, werden wir erkennen, dass der größte Nutzen eintritt, wenn die Person nur das Gut x (11 Einheiten) kauft, also einen Nutzen von 44 (4 × 11 + 0x7) hat. Wenn Sie stattdessen beispielsweise 9 Einheiten von x und 1 von y kaufen, beträgt Ihr Gewinn 42 (9 × 4 + 1 × 7). Wenn Sie in der Zwischenzeit alles für gutes y ausgeben, könnten Sie nur 5 kaufen, was Ihnen einen Gewinn von 35 (4 × 0 + 5 × 7) einbringen würde.
Es ist erwähnenswert, dass in der obigen Grafik die graue Linie eine der Indifferenzkurven ist.
An dieser Stelle müssen wir auch daran denken, dass die Güter x und y nur ganzzahlige Werte annehmen können.
Der dargestellte Fall kann der von zwei Gütern sein, die dasselbe Bedürfnis befriedigen, zum Beispiel Hunger. Eines davon, gutes x, bietet zwar etwas weniger Nutzen, ist aber mit 6 WE günstiger, während gutes y mehr als das Doppelte von WE14 kostet.
Um die Zielfunktion zu maximieren, können Sie Online-Tools verwenden, mit denen Sie die lineare Gleichung und die entsprechenden Einschränkungen eingeben und automatisch das Ergebnis liefern.