Modul eines Vektors und Satz des Pythagoras

Der Modul eines Vektors ist die Länge eines Segments, das in einem Raum orientiert ist, der durch zwei Punkte und deren Reihenfolge bestimmt wird.

Mit anderen Worten, der Modul eines Vektors ist die Länge zwischen dem Anfang und dem Ende des Vektors, dh wo der Pfeil beginnt und wo er endet.

Gegeben einen beliebigen zweidimensionalen Vektor:

Die Information, die uns die Koordinaten des Vektors geben, also vx und vy, ist seine Länge für die x-Achse bzw. seine Länge für die y-Achse.

Wenn wir also die Koordinaten kennen, können wir den Modul des Vektors berechnen.

Modul eines Vektors und der Satz des Pythagoras

Erinnert Sie die vorherige Zeichnung nicht an eine geometrische Figur?

Genau können wir uns vorstellen, dass die Koordinatenachsen neben dem Vektor ein Rechteck mit Grundfläche vx und Höhe vy bilden. Wir können dieses Rechteck in zwei symmetrische Dreiecke aufteilen, dh beide haben die gleiche Basis und Höhe.

Das blau schattierte Dreieck hat eine Basis von vx und eine Höhe von vy. Wenn wir diese Informationen kennen, können wir ihre Hypotenuse kennen. Es gibt einen sehr berühmten Satz, der als Satz des Pythagoras bekannt ist und für diese Berechnungen verwendet wird.

Demonstration

Wir wissen, dass die pythagoräische Formel wie folgt lautet:

Dabei ist h die Hypotenuse, c ist ein Bein und c ist ein weiteres Bein.

In unserem Fall wissen wir, wie viel unsere Beine wert sind, also die Basis und die Höhe. Also können wir diese Informationen in die Gleichung einsetzen:

Wir entfernen das Quadrat von h, indem wir die Quadratwurzel anwenden:

Wenn wir sagen, dass vx = 3 und vy = 6 gilt:

Wenn also v ein Vektor mit den Koordinaten (3,6) wäre, wissen wir, dass sein Modul 6,7082 ist. Genau, sein Modul, denn die Formel für den Modul jedes Vektors v lautet:

Wir sehen, dass genau die Information, die uns in der Gleichung fehlt, mit der Hypotenuse übereinstimmt. Mit anderen Worten, die Länge des Vektors ist das, was wir berechnen möchten, und die Hypotenuse ist die Diagonale des Dreiecks. Daraus können wir schließen, dass die Verwendung des Satzes des Pythagoras zur Berechnung des Moduls des Vektors eine gültige Methode ist.

Wenn wir also den Modul eines Vektors berechnen müssen und uns nicht an die Formel erinnern, können wir über den Satz des Pythagoras nachdenken und das Problem lösen.

Übung gelöst

Berechnen Sie den Modul des Vektors v mit den Koordinaten (-3, -6) unter Anwendung des Satzes des Pythagoras.

Der aus der Formel des Satzes des Pythagoras berechnete Modul des Vektors v mit Koordinaten (-3,6) beträgt ebenfalls 6,7082.