Die Tschebyscheffsche Ungleichung ist ein in der Statistik verwendeter Satz, der eine konservative Schätzung (Konfidenzintervall) der Wahrscheinlichkeit liefert, mit der eine Zufallsvariable mit endlicher Varianz in einer bestimmten Entfernung von ihrer mathematischen Erwartung oder ihrem Mittelwert liegt.
Sein formaler Ausdruck lautet wie folgt:
X = Schätzwert
µ = Mathematische Erwartung des Schätzwertes
Ϭ = Standardabweichung des Erwartungswertes
k = Anzahl der Standardabweichungen
Ausgehend von diesem allgemeinen Ausdruck und der Entwicklung des Teils, der innerhalb des absoluten Wertes bleibt, hätten wir Folgendes:
Wenn wir den vorherigen Ausdruck beachten, kann man sehen, dass der Teil links nicht größer als a . ist Konfidenzintervall. Dies bietet uns sowohl eine untere als auch eine obere Schranke für den Schätzwert. Daher sagt uns die Tschebyscheff-Ungleichung die minimale Wahrscheinlichkeit, dass der Populationsparameter innerhalb einer bestimmten Anzahl von Standardabweichungen über oder unter seinem Mittelwert liegt. Oder anders ausgedrückt, es gibt uns die Wahrscheinlichkeit, dass der Populationsparameter innerhalb dieses Konfidenzintervalls liegt.
Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert ungefähre Grenzen für den geschätzten Wert. Trotz einer gewissen Ungenauigkeit ist es ein sehr nützliches Theorem, da es auf eine Vielzahl von Zufallsvariablen unabhängig von ihrer Verteilung angewendet werden kann. Die einzige Einschränkung, um diese Ungleichung verwenden zu können, besteht darin, dass k größer als 1 sein muss (k> 1).
Mathematische UngleichungAnwendungsbeispiel der Tschebyschew-Ungleichung
Angenommen, wir sind Manager eines Investmentfonds. Das von uns verwaltete Portfolio hat eine durchschnittliche Rendite von 8,14 % und eine Standardabweichung von 5,12 %. Um beispielsweise zu wissen, welcher Prozentsatz unserer Renditen mindestens 3 Standardabweichungen von unserer durchschnittlichen Rentabilität beträgt, wenden wir einfach die vorherige Formel von Ausdruck 2 an.
k = 1,96
Ersetzen des Wertes von k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
Das bedeutet, dass 73,9 % der Ergebnisse im Konfidenzintervall bei 1,96 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen.
Machen wir das vorherige Beispiel für andere Werte als k.
k = 2,46
k = 3
Ersetzen des Wertes von k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Ersetzen des Wertes von k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9 %
83,5% der Daten liegen im Abstand von 2,46 Standardabweichungen vom Mittelwert und 88,9% innerhalb von 3 Standardabweichungen vom Mittelwert.
Anhand der Tschebyscheff-Ungleichung lässt sich leicht ableiten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable innerhalb des begrenzten Intervalls liegt, umso größer ist, je höher der Wert von K ist (je größer die Abweichung des Schätzwertes von seinem Mittelwert).
KurtosisZentraler GrenzwertsatzUngleichheit