Der japanische Mathematiker Kiyoshi Ito formulierte 1951 die Kettenregel der stochastischen Analysis und machte damit das berühmte Motto bekannt, das seinen Namen trägt.
Der stochastische Kalkül definiert das Gegenstück zum deterministischen Newton-Leibniz-Kalkül für Zufallsfunktionen.
Tatsächlich ist Itos stochastisches Kalkül eines der nützlichsten Werkzeuge in der modernen Finanzmathematik, auf dem praktisch die gesamte Wirtschaftstheorie und zeitkontinuierliche Finanzanalyse beruht.
Itos Motto im Finanzwesen
Genauer gesagt bezieht sich der Begriff Stochastik im Aktienhandel auf Schwankungen der Schlusskurse. Mit anderen Worten, Händler verwenden die stochastische Analyse, um zu entscheiden, wann sie Wertpapiere kaufen und verkaufen.
Ihre Annahme ist, dass, wenn der aktuelle Schlusskurs einer Aktie in der Nähe ihres vorherigen Tiefs oder Höchstkurses liegt, der Kurs des nächsten Tages nicht drastisch höher bzw. niedriger sein wird.
Aus dieser Perspektive wird das Motto von Ito häufig verwendet, um den stochastischen Prozess abzuleiten, gefolgt vom Preis eines derivativen Wertpapiers. Wenn beispielsweise der Basiswert (der Basiswert ist die Quelle, aus der der Wert des Finanzinstruments abgeleitet wird) der geometrischen Brownschen Bewegung folgt, dann zeigt das japanische Motto, dass ein derivatives Wertpapier – dessen Preis eine Funktion des Basiswertpreises des Vermögenswertes ist und der Zeit - folgt ebenfalls der Brownschen geometrischen Bewegung.
Brownsche Bewegung und Itos Motto
Um diese Theorie besser zu verstehen, sollten wir uns zunächst daran erinnern, was Brownsche Bewegung ist: Es ist die zufällige Verschiebung (zufällig), die in einigen mikroskopischen Teilchen beobachtet wird, wenn sie sich in einem flüssigen Medium befinden, in einer Flüssigkeit.
Es war der Schotte Robert Brown (dem er seinen Namen verdankt), der Biologe, der das Phänomen 1827 entdeckte, aber seine mathematische Beschreibung wurde von Albert Einstein, wenn auch viele Jahre später, im Jahr 1905, ausgearbeitet Der berühmte deutsche Nobelpreisträger öffnete die Türen der Atomtheorie und begründete das Gebiet der statistischen Physik.
Die Beziehung des Brownschen Prinzips zum Lemma von Ito wird jedoch wie folgt erklärt → Wenn zwei Werte die gleiche Risikoquelle haben, kann eine geeignete Kombination der beiden Werte dieses Risiko eliminieren; Zur Begrenzung dieser Risiken wurden daher grundsätzlich Finanzderivate geschaffen.
Darüber hinaus führte dieses Ergebnis zur Entwicklung des mathematischen Black-Scholes-Merton-Modells (der ersten vollständigen analytischen Stichprobe zur Bewertung von Optionen) und zahlreicher moderner Abdeckungstheorien und Anwendungen.
