Die lineare Transformation von Matrizen sind lineare Operationen durch Matrizen, die die Anfangsdimension eines gegebenen Vektors modifizieren.
Mit anderen Worten, wir können die Dimension eines Vektors ändern, indem wir ihn mit einer beliebigen Matrix multiplizieren.
Lineare Transformationen sind die Grundlage der Vektoren und Eigenwerte einer Matrix, da sie linear voneinander abhängen.
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Mathematisch
Wir definieren eine MatrixC eine beliebige Dimension 3 × 2 multipliziert mit einem Vektor V der Dimensionn = 2 so dass V = (v1, v2).
Welche Dimension wird der Ergebnisvektor haben?
Der Vektor, der sich aus dem Produkt der Matrix . ergibtC3×2mit VektorV2×1wird ein neuer V-Vektor der Dimension 3 sein.
Diese Dimensionsänderung des Vektors beruht auf der linearen Transformation durch die Matrix C.
Praxisbeispiel
Gegeben sei die quadratische MatrixR mit Dimension 2 × 2 und dem VektorV der Dimension 2.
Eine lineare Transformation der Dimension des VektorsV es ist:
wobei die Anfangsdimension des Vektors V war 2 × 1 und nun die endgültige Dimension des Vektors Siehst du3×1. Diese Dimensionsänderung wird durch Multiplikation der Matrix erreicht R.
Können diese linearen Transformationen grafisch dargestellt werden? Aber natürlich!
Wir werden den Ergebnisvektor V' in einer Ebene darstellen.
Dann:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafisch
Eigenvektoren mit grafischer Darstellung
Wie können wir feststellen, dass ein Vektor ein Eigenvektor einer gegebenen Matrix ist, indem wir nur den Graphen betrachten?
Wir definieren die MatrixD der Dimension 2 × 2:
Sind die Vektoren v1= (1,0) und v2= (2,4) Eigenvektoren der Matrix D?
Prozess
1. Beginnen wir mit dem ersten Vektor v1. Wir führen die vorherige lineare Transformation durch:
Wenn also der Vektor v1 ist Eigenvektor der Matrix D, der resultierende Vektor v1'Und Vektor v1sie sollten zur gleichen Zeile gehören.
Wir vertreten v1 = (1,0) und v1’ = (3,0).
Da beide v1als V1’Gehöre zu derselben Zeile, v1 ist ein Eigenvektor der Matrix D.
Mathematisch gibt es eine Konstanteha(Eigenwert) so dass:
2. Wir fahren mit dem zweiten Vektor v . fort2. Wir wiederholen die vorherige lineare Transformation:
Wenn also der Vektor v2 ist Eigenvektor der Matrix D, der resultierende Vektor v2'Und der Vektor v2 sie sollten zu derselben Linie gehören (wie die obige Grafik).
Wir vertreten v2 = (2,4) und v2’ = (2,24).
Da v2 und V2’Gehöre nicht in dieselbe Linie, v2 ist kein Eigenvektor der Matrix D.
Mathematisch gibt es keine Konstanteha(Eigenwert) so dass:
