Endliche Mengen sind solche, deren Kardinalität oder Anzahl der Elemente darin gleich einer natürlichen Zahl ist.
Mit anderen Worten, eine endliche Menge hat eine Anzahl von Elementen, die gezählt werden können. Das Gegenteil einer unendlichen Menge sein, in der die Elemente unzählbar sind.
Eine formalere Art auszudrücken, dass eine Menge endlich ist, besteht darin, dass die Elemente dieser Menge, die wir M nennen, mit den Elementen der Menge (1, 2,…, n), die wir N nennen, gepaart werden können. Dies ist eine Folge von ganzen Zahlen, bei denen jedes Element dem vorherigen plus der Einheit entspricht.
Somit können die Elemente von M und N nacheinander gepaart werden (was als Eins-zu-Eins-Korrespondenz bekannt ist), ohne irgendein Element der beiden Mengen auszulassen.
Man sagt auch, dass M und N äquipotent sind, d. h. für jedes Element von M gibt es ein Element von N.
Außerdem stimmt die Zahl n (das größte Element der Menge N) mit der Anzahl der Elemente von M überein, wobei n die Kardinalzahl, die Mächtigkeit oder die Potenz von N ist, und ihre Notation ist Karte (N), |N | oder #N.
Beispiele für endliche Mengen
Einige Beispiele für endliche Mengen wären die folgenden:
- Ungerade ganze Zahlen größer als 13 und kleiner als 29: (15, 17, 19, 21, 23, 25, 27)
- Die Ozeane der Erde: Atlantik, Pazifik, Indisch, Arktis, Antarktis
- Die Liste der zwanzig Schüler, die zu einem Klassenzimmer gehören.
Eigenschaften endlicher Mengen
Zu den Haupteigenschaften endlicher Mengen gehören die folgenden:
- Die Vereinigung von zwei oder mehr endlichen Mengen ergibt eine endliche Menge.
- Der Schnittpunkt (die gemeinsamen Elemente) einer endlichen Menge mit einer oder mehreren Mengen ist endlich.
- Auch die Teilmenge einer endlichen Menge ist endlich.
- Die Teilmenge C einer endlichen Menge M ist dadurch gekennzeichnet, dass sie eine kleinere Anzahl von Elementen hat als M. Das heißt, es gilt: Wenn C ⊊ M und |M | = n, dann |C | <n (Das Symbol ⊊ bedeutet, dass C eine echte Teilmenge von M ist. Das heißt, alle Elemente von C sind in M enthalten, aber es gibt mindestens ein Element von M, das nicht in C ist).
- Die Potenzmenge einer endlichen Menge M, die alle Teilmengen enthält, die mit den Elementen der Menge M gebildet werden können (einschließlich der leeren Menge oder ∅), ist endlich und hat 2nein Elemente, wobei n die Anzahl der Elemente in M ist. Wenn wir zum Beispiel haben:
(1, 3, 41)
Die Potenzmenge wäre: (∅, (1,3), (1,41), (3,41), (1), (3), (41), (1,3,41))
Wie wir sehen, hat die Potenzmenge einer endlichen Menge von drei Elementen acht (23) Elemente.