Quadratische Matrix - Was ist das, Definition und Konzept

Eine quadratische Matrix ist eine sehr grundlegende Matrixtypologie, die sich dadurch auszeichnet, dass sowohl Zeilen als auch Spalten die gleiche Reihenfolge aufweisen.

Mit anderen Worten, eine quadratische Matrix hat dieselbe Anzahl von Zeilen (n) und dieselbe Anzahl von Spalten (m).

Darstellung einer quadratischen Matrix

Wir können unendlich viele Kombinationen von quadratischen Matrizen erstellen, solange wir die Einschränkung respektieren, dass die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich sein muss.

Quadratische Matrix der Ordnung n

Da in einer quadratischen Matrix die Anzahl der Zeilen (n) gleich der Anzahl der Spalten (m) ist, sagen wir mathematisch n = m.

Ausgehend von dieser Gleichheit reicht es dann aus, nur die Anzahl der Zeilen (n) anzugeben, die die Matrix hat.

Warum? Nun, da wir die Anzahl der Zeilen (n) kennen, kennen wir auch die Anzahl der Spalten (m), da n = m.

Die Reihenfolge sagt uns, wie viele Zeilen (n) und Spalten (m) eine Matrix hat. Im Fall der quadratischen Matrix kennen wir bereits die Reihenfolge der Spalten (m), indem wir die Reihenfolge der Zeilen (n) angeben. Wenn uns also gesagt wird, dass eine quadratische Matrix von der Ordnung n ist, bedeutet dies, dass diese Matrix n Zeilen und n Spalten hat, vorausgesetzt, n = m und m = n.

Unterscheide eine quadratische Matrix von anderen nicht-quadratischen Matrizen

Wie können wir uns daran erinnern, dass eine quadratische Matrix die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten hat?

Denken wir an ein Quadrat. Das heißt, Quadrate sind dafür bekannt, dass sie Seiten gleicher Länge haben. Eine quadratische Matrix hat also auch diese Eigenschaft: Die Anzahl der Zeilen und Spalten wird übereinstimmen.

Abgesehen von der analytischen Vision sieht eine quadratische Matrix aus der geometrischen Vision auch wie ein Quadrat aus:

Matrix A: quadratische Form => quadratische Matrix.

Matrix B: Rechteckform => Nicht-quadratische Matrix.

Matrix C: Rechteckform => Nicht-quadratische Matrix.

Anwendungen

Die quadratische Matrix ist die Grundlage für viele andere Arten von Matrizen wie die Identitätsmatrix, die Dreiecksmatrix, die inverse Matrix und die symmetrische Matrix. Darüber hinaus ist es auch die Grundlage für komplexe Operationen wie die Cholesky-Zerlegung oder die LU-Zerlegung, die beide im Finanzwesen weit verbreitet sind.

Die Verwendung von Matrizen in der Ökonometrie erleichtert Berechnungen erheblich, wenn lineare Regressionen multiple lineare Regressionen sind. In diesen Fällen können alle Variablen und Koeffizienten in Matrixform ausgedrückt werden und zum Verständnis der Studie beitragen.

Theoretisches Beispiel

Quadratische Matrix der Ordnung 2: 2 Zeilen und 2 Spalten.

Quadratische Matrix der Ordnung 3: 3 Zeilen und 3 Spalten.

Quadratische Matrix der Ordnung n: n Zeilen und n Spalten (n = m):