Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Häufigkeit bestimmter Ereignisse während eines festen Zeitintervalls basierend auf der durchschnittlichen Häufigkeit des Auftretens dieser Ereignisse modelliert.
Mit anderen Worten, die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nur durch Kenntnis der Ereignisse und ihrer durchschnittlichen Häufigkeit des Auftretens ihre Wahrscheinlichkeit kennen kann.
Ausdruck der Poissonverteilung
Bei einer gegebenen diskreten Zufallsvariablen X sagen wir, dass ihre Häufigkeit zufriedenstellend an eine Poisson-Verteilung angenähert werden kann, so dass:
Im Gegensatz zur Normalverteilung hängt die Poisson-Verteilung nur von einem Parameter ab, mu (gelb markiert).
Mu meldet die erwartete Anzahl von Ereignissen, die in einem festgelegten Zeitintervall auftreten. Wenn wir über etwas "Erwartetes" sprechen, müssen wir es umleiten, um über den Mittelwert nachzudenken. Daher ist mu der Mittelwert der Häufigkeit der Ereignisse.
Sowohl der Mittelwert als auch die Varianz dieser Verteilung sind sehr streng positiv.
Darstellung
Bei einer Poisson-Verteilung mit Mittelwert 2 lautet die Dichtewahrscheinlichkeitsverteilung wie folgt:
Die Funktion ist nur auf ganzzahligen Werten von x definiert.
Nicht alle Poisson-Dichte-Wahrscheinlichkeitsverteilungen sehen gleich aus, selbst wenn wir die Stichprobe gleich halten. Wenn wir den Mittelwert ändern, also den Parameter, von dem die Funktion abhängt, ändert sich auch die Funktion.
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf)
Unter dieser Funktion wird die Wahrscheinlichkeit verstanden, dass die Zufallsvariable X einen bestimmten Wert x annimmt. Es ist die Exponentialfunktion des negativen Mittelwerts multipliziert mit dem auf die Beobachtung erhobenen Mittelwert und dividiert durch die Fakultät der Beobachtung.
Um die Wahrscheinlichkeit jeder Beobachtung zu kennen, müssen wir, wie bereits erwähnt, alle Beobachtungen in der Funktion ersetzen. Mit anderen Worten, x ist ein Vektor der Dimension n, der alle Beobachtungen der Zufallsvariablen X enthält. Der Mittelwert wäre ebenfalls ein Vektor, aber eindimensional, so dass:
Sobald wir die berechneten Wahrscheinlichkeiten haben, können wir zusammen mit den Beobachtungen die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung zeichnen.
Geschichte
Der Name dieser Verteilung stammt von ihrem Schöpfer Siméon-Denis Poisson (1781-1840), einem französischen Mathematiker und Philosophen, der die Häufigkeit von Ereignissen während eines festen Zeitintervalls modellieren wollte. Er beteiligte sich auch an der Vervollkommnung des Gesetzes der großen Zahl.
App
Die Poisson-Verteilung wird im Bereich des operationellen Risikos verwendet, um Situationen zu modellieren, in denen ein operationeller Schaden eintritt. Im Marktrisiko wird das Poisson-Verfahren für Wartezeiten zwischen Finanztransaktionen in Hochfrequenzdatenbanken verwendet. Außerdem wird das Kreditrisiko berücksichtigt, um die Zahl der Insolvenzen zu modellieren.
Beispiel
Wir gehen davon aus, dass wir in der Wintersaison sind und vor Dezember Ski fahren wollen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Skigebiete vor Dezember öffnen, beträgt 5%. Von den 100 Skigebieten wollen wir die Wahrscheinlichkeit wissen, dass das nächstgelegene Skigebiet vor Dezember öffnet. Die Bewertung dieses Skigebiets beträgt 6 Punkte.
Die zur Berechnung der Poisson-Dichte-Wahrscheinlichkeitsfunktion erforderlichen Eingaben sind der Datensatz und mu:
- Datensatz = 100 Skigebiete.
- Mu = 5% * 100 = 5 ist die erwartete Anzahl von Skigebieten anhand des Datensatzes.
Die nächstgelegene Station hat also eine Chance von 14,62 %, dass sie vor Dezember eröffnet wird.
Häufigkeitswahrscheinlichkeit
