Das Black-Scholes-Modell ist eine Formel zur Bewertung des Preises einer Finanzoption. Diese Formel basiert auf der Theorie der stochastischen Prozesse.
Das Black-Scholes-Modell verdankt seinen Namen den beiden Mathematikern, die es entwickelt haben, Fisher Black und Myron Scholes. Black-Scholes wurde ursprünglich verwendet, um Nicht-Dividenden-Optionen zu bewerten. Oder was ist das Gleiche, zu versuchen, den "fairen" Preis einer Finanzoption zu berechnen. Später wurde die Berechnung für alle Arten von Optionen erweitert.
Dieses Modell erhielt 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Damit ist es zu einem der Grundpfeiler der modernen Finanztheorie geworden. Viele Analysten verwenden diese Methode, um den angemessenen Preis für eine Finanzoption zu ermitteln.
Annahmen des Black-Scholes-Modells
Bevor auf die Formel und die anschließende Berechnung eingegangen wird, müssen einige Überlegungen zum Modell angestellt werden. Einige Ausgangsannahmen, die das Modell berücksichtigt und die wir im Folgenden auflisten:
- Es fallen keine Transaktionskosten oder Steuern an.
- Der risikolose Zinssatz ist für alle Laufzeiten konstant.
- Die Aktie zahlt keine Dividenden.
- Die Volatilität bleibt konstant.
- Leerverkäufe sind erlaubt.
- Es gibt keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten.
- Nehmen Sie an, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen eine Normalverteilung ist.
Black-Scholes-Formel
Die Black-Scholes-Optionspreisformel wird wie folgt ausgedrückt:
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Wo:
- C = Kaufpreis der Option heute (T = 0) in Euro.
- T = Laufzeit in Jahren (3 Monate = 0,25 Jahre).
- r = Zinssatz ohne Risiko. Die Rentabilität der Staatsschulden so viel pro eins
- sigma = Volatilität nach einem.
- X = Ausübungspreis der Kaufoption in Euro.
- S = Aktienkurs in T = 0 in Euro.
- N (d1 und d2) = Wert der kumulativen Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Normalverteilung mit Nullmittelwert und einer Standardabweichung.
Black-Scholes-Berechnungsbeispiel
Angenommen, wir möchten den Wert einer Call-Option mit einer Laufzeit von 3 Monaten mit einem Ausübungspreis von 40 Euro berechnen. Der Aktienkurs beträgt 50 Euro. Die jährliche Volatilität beträgt 30% (0,3). Und der risikofreie 3-Monats-Zinssatz beträgt 10 %. Die Aktie zahlt in den nächsten drei Monaten keine Dividenden.
Deshalb:
- C = Kaufpreis der Option heute (T = 0) in Euro.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 Euro.
- S = 50 Euro.
Wir berechnen d1 und d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Um die letzten Werte von d1 und d2 zu erhalten, müssen Sie übrigens die Wahrscheinlichkeitstabellen verwenden.
Sobald wir alle Daten haben, ersetzen wir in der Anfangsformel:
Somit liegt der angemessene Preis für unsere Call-Option laut Black-Scholes bei 11.123 Euro.
Grenzen des Black-Scholes-Modells
Obwohl das Black-Scholes-Modell eine brillante Lösung für das Problem der Berechnung eines angemessenen Preises für eine Option bietet, weist es einige Einschränkungen auf.
Es ist ein Modell, das heißt eine Anpassung der Realität. Daher repräsentiert es als Anpassung an die Realität diese nicht perfekt. Black-Scholes berechnet den Preis für Optionen, die erst bei Verfall ausgeübt oder abgewickelt werden können. US-Optionen können jedoch vor Ablauf ausgeübt werden. Darüber hinaus wird auch davon ausgegangen, dass die Aktie keine Dividenden zahlt. Und dass sowohl der risikofreie Zinssatz als auch die Volatilität konstant sind. Was auch in der Realität nicht der Fall ist, da viele Aktien Dividenden zahlen. Schließlich ändern sich die Volatilität und die risikofreien Zinssätze im Laufe der Zeit, sodass auch diese Annahme nicht zutrifft.
Mathematisches Modell