Schwerpunkt eines Dreiecks - Was ist das, Definition und Konzept
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die Mittellinien der Figur schneiden. Es wird auch als Schwerpunkt bezeichnet.
Es sollte daran erinnert werden, dass der Median das Segment ist, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt seiner gegenüberliegenden Seite verbindet. Somit hat jedes Dreieck drei Mediane.
Im obigen Dreieck ist der Schwerpunkt beispielsweise der Punkt O, wobei die Mediane die Segmente AF, BD und CE sind.
Eine wichtige Eigenschaft des Schwerpunkts ist, dass sein Abstand von jedem Scheitelpunkt doppelt so groß ist wie der Abstand von der gegenüberliegenden Seite.
Zur besseren Erklärung lassen sich in jedem Median zwei Teile unterscheiden:
- Der Abstand vom Scheitelpunkt zum Schwerpunkt, der 2/3 der Länge des Medians beträgt
- Das verbleibende 1/3, das ist der Abstand vom Schwerpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
Im obigen Bild gilt zum Beispiel:
So finden Sie den Schwerpunkt eines Dreiecks
Um den Schwerpunkt des Dreiecks zu finden, müssen wir berücksichtigen, dass bei Kenntnis der Koordinaten der drei Eckpunkte des Dreiecks die Koordinaten des Schwerpunkts seinem arithmetischen Mittel entsprechen. Angenommen, die Eckpunkte sind:
Dann wären die Koordinaten des Schwerpunkts, die wir O nennen werden:
Nun ist es auch möglich, den Schwerpunkt zu finden, wenn wir die Gleichungen der Geraden haben, die mindestens zwei der Mediane enthalten.
Denken Sie daran, dass in der analytischen Geometrie eine Gerade als algebraische Gleichung erster Ordnung wie folgt ausgedrückt werden kann:
y = xm + b
In der gezeigten Gleichung ist y die Koordinate auf der Ordinatenachse (vertikal), x ist die Koordinate auf der Abszissenachse (horizontal), m ist die Steigung (Neigung), die die Linie in Bezug auf die Abszissenachse bildet, und b ist der Punkt, an dem die Linie die Ordinatenachse schneidet.
Um das oben Gesagte besser zu verstehen, schauen wir uns ein Beispiel an.
Beispiel für den Schwerpunkt
Angenommen, wir haben ein Dreieck, von dem wir zwei seiner Ecken kennen:
A (0,4) und B (-2,1)
Nun ist weiter bekannt, dass der Mittelpunkt der Seite gegenüber dem Scheitelpunkt A (3,1) ist und der Mittelpunkt der Seite gegenüber dem Scheitelpunkt B ist (4, 2,5). Es ist erwähnenswert, dass wir das Semikolon verwenden, um es nicht mit dem Komma zu verwechseln, das die Dezimalstellen trennt.
Zuerst finden wir die Gleichung der Geraden, die den Median enthält, der vom Scheitelpunkt A ausgeht, wobei berücksichtigt wird, dass die Steigung beim Übergang von einem Punkt zum anderen immer gleich sein muss. Die Steigung ist die Abweichung auf der vertikalen Achse zwischen der Abweichung auf der horizontalen Achse:
Wir haben angenommen, dass die Linie durch einen Punkt (x1, y1) verläuft, der der Scheitelpunkt A (0, 4) ist, und durch den Punkt (x2, y2), der den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite (3 1).
Dann machen wir dasselbe mit Scheitelpunkt B (-2,1) und dem Mittelpunkt seiner gegenüberliegenden Seite (-4, -2,5):
Im nächsten Schritt gleichen wir die rechte Seite der beiden gefundenen Gleichungen aus, um den Wert auf der X-Achse aufzulösen, wenn beide übereinstimmen:
Dann lösen wir in einer der Gleichungen auf, um den Wert von y zu finden:
Daher ist der Schwerpunkt des Dreiecks der Punkt (2,2) in der kartesischen Ebene.
