Das Gauss-Markov-Theorem ist eine Reihe von Annahmen, die ein OLS (Ordinary Least Squares)-Schätzer erfüllen muss, um als ELIO (Optimal Linear Unbiased Estimator) betrachtet zu werden. UNDDer Satz von Gauss-Markov wurde von Carl Friederich Gauss und Andrei Markov formuliert.
Carl Friederich Gauss und Andréi Márkov haben einige Annahmen aufgestellt, damit aus einem OLS-Schätzer ELIO werden könnte.
Wenn diese 5 Annahmen erfüllt sind, können wir bestätigen, dass der Schätzer derjenige mit der geringsten Varianz (am genauesten) aller linearen und unverzerrten Schätzer ist. Für den Fall, dass eine der Annahmen der ersten drei fehlschlägt (Linearität, Null mean-strikte Exogenität oder Keine perfekte Multikollinearität), ist der OLS-Schätzer nicht mehr erwartungstreu. Wenn nur 4 oder 5 fehlschlagen (Homoskedastie und keine Autokorrelation), ist der Schätzer immer noch linear und unverzerrt, aber nicht mehr der genaueste. Zusammenfassend besagt der Satz von Gauss-Markov:
- Unter den Annahmen 1, 2 und 3 ist der OLS-Schätzer linear und unverzerrt. Solange die ersten drei Annahmen erfüllt sind, kann nun sichergestellt werden, dass der Schätzer unverzerrt ist. Damit der Schätzer konsistent ist, müssen wir eine große Stichprobe haben, je mehr, desto besser.
- Unter den Annahmen 1, 2, 3, 4 und 5 ist der OLS-Schätzer linear, unverzerrt und optimal (ELIO).
Annahmen des Gauß-Markov-Theorems
Konkret gibt es 5 Annahmen:
1. Lineares Modell in den Parametern
Es ist eine ziemlich flexible Annahme. Es ermöglicht die Verwendung von Funktionen der interessierenden Variablen.
2. Nullmittelwert und strikte Exogenität
Dies impliziert, dass der durch Erklärungen bedingte Mittelwert des Fehlers gleich dem unbedingten Erwartungswert und gleich Null ist. Darüber hinaus erfordert die strikte Exogenität, dass Modellfehler nicht mit Beobachtungen korreliert werden.
Nullmittel:
Strenge Exogenität:
Nullmittelwert und strikte Exogenität schlagen fehl, wenn:
- Das Modell ist schlecht spezifiziert (zB Weglassung relevanter Variablen).
- Es gibt Messfehler in den Variablen (die Daten wurden nicht überprüft).
- In Zeitreihen versagt die strikte Exogenität in Modellen der verzögerten Endogenität (obwohl eine gleichzeitige Exogenität vorliegen kann) und in Fällen, in denen Rückkopplungseffekte auftreten.
Bei Querschnittsdaten ist die Annahme der Exogenität viel einfacher zu erreichen als bei Zeitreihen.
3. Keine exakte Multikollinearität
In der Stichprobe ist keine der erklärenden Variablen konstant. Es gibt keine exakten linearen Beziehungen zwischen erklärenden Variablen. Es schließt einige (nicht perfekte) Korrelationen zwischen den Variablen nicht aus. Laut Gauss und Markov ist ein Modell mit exakter Multikollinearität in der Regel auf den Fehler eines Analysten zurückzuführen.
4. Homoskedastizität
Die Varianz des Fehlers und damit von Y ist unabhängig von den erklärenden Werten und zusätzlich von der Varianz des konstanten Fehlers. Mathematisch wird es ausgedrückt als:
Hier ist eine Reihe von Daten mit homoskedastischem Aussehen.
5. Keine Autokorrelation
Die Fehlerterme zweier unterschiedlicher Beobachtungen, die von X abhängig sind, stehen in keinem Zusammenhang. Wenn die Stichprobe zufällig ist, findet keine Autokorrelation statt.
Wobei ich einen anderen Wert als h haben muss. Wenn die Stichprobe zufällig ist, sind die Daten und die Beobachtungsfehler "i" und "h" für jedes Beobachtungspaar "i" und "h" unabhängig.
