Vasicek-Modell - Was ist das, Definition und Konzept
Das Vasicek-Modell ist ein Einfaktor-Gleichgewichtsmodell für Zinssätze, das auf einem Brownschen geometrischen Prozess basiert und die Mittelwertreversion und die Zeitstruktur der Zinssätze berücksichtigt.
Mit anderen Worten, das Vasicek-Modell wird verwendet, um langfristige Zinssätze durch Simulation kurzfristiger Zinssätze vorherzusagen. Zudem wird berücksichtigt, dass sich die Zinssätze in verschiedenen Zeiträumen unterscheiden (Zeitstruktur der Zinssätze).
Gleichgewichtszinsmodelle verwenden kürzerfristige Zinssätze, um zukünftige Zinssätze unter Berücksichtigung der Zinsstruktur der Zinssätze zu berechnen.
Zur Konstruktion der Zinsstrukturkurve benötigen wir die kurzfristigen Zinssätze und die Parameter des Modells. Sobald wir die kurzfristigen Zinssätze und die Parameter haben, können wir die langfristigen Zinssätze berechnen.
Um die zukünftigen Kurse von Nullkuponanleihen zu berechnen, benötigen wir also kurzfristige Nullkuponzinssätze. Auf diese Weise können wir auch die Kurve oder Zeitstruktur von Nullkuponzinssätzen aufbauen. Sobald wir die Kurve haben, werden wir die Entwicklung der langfristigen Zinssätze anhand der kurzfristigen Zinssätze bestimmen.
Vasicek-Modellformel: Nullkupon-Anleihepreis.
Analytische Lösung zur Ermittlung des Preises einer Nullkuponanleihe, die 1 € bei Fälligkeit (T) in einem beliebigen Zeitraum (t) und zu einem kurzfristigen Zinssatz (r (t)) zahlt.
Keine Panik!
Wir brauchen nur:
- Der Zeitraum, in dem wir die Zinssätze wissen wollen, also T.
- Der Moment der Zeit, in dem wir uns gerade befinden oder der Startmoment, den wir wollen, also t.
- Die kurzfristige Zinskurve, d. h. r (T) oder rT . Wenn wir die Zinssätze in der Startperiode ausdrücken wollten, würden wir r (T) oder r . verwendenT.
- In diesen Formeln behandeln wir die Parameter a, b und s als Zeitkonstanten.
- Die Standardabweichung, s.
Um den Preis einer Nullkuponanleihe zu berechnen, die bei Fälligkeit 1 € zahlt (T) in einem beliebigen Zeitraum (t) müssen wir nur die Parameter a, b und s mit Werten versehen und die kurzfristigen Zinssätze simulieren (r(t)).
Darstellung des Vasicek-Modells: Nullkupon-Anleihepreis
P (t, T) stellt den Kurs der Anleihe vom Zeitpunkt t bis T dar.
Also… Werden die Anleihekurse immer so sein?
Ganz und gar nicht, wie wir eingangs sagten, Zinssätze hängen von einem Brownschen geometrischen Prozess ab und implizieren daher das Vorhandensein einer zufälligen Komponente, N (0,1). Jedes Mal, wenn wir die obigen Formeln berechnen, ändern sich also die kurzfristigen Zinssätze und damit auch die langfristigen Zinssätze, Anleihekurse und deren Darstellung.
Wir verwenden die folgenden Formeln, um r (T) und R (T) zu finden.
Vasicek-Modellformel: Kurzfristige Zinssätze
Formel für kurzfristige Zinssätze (rT):
Formel für den langfristigen Zinssatz (RT):
Darstellung des Vasicek-Modells: Zinskurve
