Funktionale Gleichungen sind solche, die eine andere Funktion als unbekannt haben. Eine Funktion, die mit einer algebraischen Operation wie Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation, Potenz oder Wurzel verknüpft werden kann.
Auch Funktionalgleichungen können als solche definiert werden, die aufgrund ihrer Auflösung nicht leicht auf eine algebraische Funktion vom Typ f (x) = 0 zurückführbar sind.
Funktionale Gleichungen werden dadurch charakterisiert, dass es keinen einzigen Weg gibt, sie zu lösen. Darüber hinaus kann die fragliche Variable unterschiedliche Werte annehmen (wir werden es an Beispielen sehen).
Beispiele für Funktionalgleichungen
Einige Beispiele für Funktionalgleichungen sind:
f (xy) = f (x), f (y)
f (x2+ und2) = f(xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
In Fällen wie den vorherigen kann man beispielsweise hinzufügen, dass x zur Menge der reellen Zahlen gehört, also x ∈ R (Null kann ausgeschlossen werden).
Beispiele für Funktionalgleichungen
Sehen wir uns einige Beispiele für gelöste Funktionalgleichungen an:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Also wenn ich x durch 1/2x ersetze:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f(x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Sehen wir uns nun ein weiteres Beispiel mit etwas mehr Schwierigkeit an, bei dem wir jedoch ähnlich vorgehen:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
In diesem Fall lösen wir zunächst nach f (5-x)
f (5-x) = x2f(x) -3x… (2)
Nun ersetze ich x durch 5-x in Gleichung 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Wir erinnern uns, dass f (5-x) in Gleichung 2 enthalten ist:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchys Funktionsgleichung
Die Cauchy-Funktionsfunktion ist eine der grundlegendsten ihrer Art. Diese Gleichung hat folgende Form:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Unter der Annahme, dass x und y in der Menge der rationalen Zahlen enthalten sind, sagt uns die Lösung dieser Gleichung, dass f (x) = cx, wobei c eine beliebige Konstante ist, und dasselbe passiert mit f (y).