Wir sagen, dass eine Zufallsvariable diskret ist, wenn die ihr zugeordnete Verteilungsfunktion eine diskrete Funktion ist.
Woher wissen wir, dass eine Zufallsvariable eine mathematische Funktion ist. Wie jede mathematische Funktion müssen wir Zahlen haben, um sie zu berechnen, damit sie Ergebnisse liefert. Um zu wissen, ob eine Verteilungsfunktion diskret ist, müssen wir auf die Art der Zahlen achten, die auf der Verteilung definiert sind.
Ein einfaches Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable wäre eine, deren Verteilungsfunktion ganzzahlige Werte annimmt. Angenommen, eine Münze. Bei Kopf ist der Wert 1 und bei Zahl 0. Die zugehörige Verteilungsfunktion setzt sich aus 1 und 0 zusammen, jeweils mit einer Eintrittswahrscheinlichkeit.
Aus dem Beispiel der Münze können wir ableiten, dass die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen den Wert 0,5 nicht enthält. Das wäre so etwas wie zu sagen, dass halb Kopf und halb Zahl herauskommen. Entweder ist der Wert 1 (Kopf) oder der Wert 0 (Zahl). In diesem Fall hätten wir es mit einer kontinuierlichen Zufallsvariablen zu tun.
Kontinuierliche VariableDie Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen
In der technischen Definition haben wir eingangs angedeutet, dass die Zufallsvariable als diskret gilt, wenn die ihr zugeordnete Verteilungsfunktion ebenfalls diskret ist. Bisher haben wir das Konzept intuitiv erklärt. Allerdings ist es notwendig, den Begriff mathematisch genau zu erklären. Es wird empfohlen, die Verteilungsfunktion zu lesen.
Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen ist definiert als:
F (x) = P (X ≤ x)
Das heißt, bei einer gegebenen Zufallsvariablen, die wir X nennen, ist ihre Verteilungsfunktion wie in der vorherigen Formel definiert. Dies gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein bestimmter Wert kleiner oder gleich X ist. Weitere Informationen basierend auf der Verteilung
Im Gegensatz zur kontinuierlichen Zufallsvariablen hat bei der diskreten Zufallsvariablen jeder Wert eine exakt zugewiesene Wahrscheinlichkeit.
Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable
Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable ist das Ergebnis eines Würfelwurfs. Das Ergebnis kann nur ganze Zahlen von 1 bis 6 annehmen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine dieser Zahlen erscheint, 1/6.
Ein weiteres Beispiel für eine Zufallsvariable ist die Anzahl der Personen, die ein Konzert besuchen. Diese Zahl kann wie im vorherigen Fall nur ganzzahlige Werte annehmen. Das heißt, anderthalb Personen können nicht an der Veranstaltung teilnehmen.
