Die Normalverteilung ist ein theoretisches Modell, das den Wert einer Zufallsvariablen zufriedenstellend an eine ideale Situation annähern kann.
Mit anderen Worten, die Normalverteilung passt eine Zufallsvariable an eine Funktion an, die vom Mittelwert und der Standardabweichung abhängt. Das heißt, die Funktion und die Zufallsvariable haben dieselbe Darstellung, jedoch mit geringfügigen Unterschieden.
Eine stetige Zufallsvariable kann jede beliebige reelle Zahl annehmen. Aktienrenditen, Testergebnisse, IQ und Standardfehler sind beispielsweise kontinuierliche Zufallsvariablen.
Eine diskrete Zufallsvariable nimmt natürliche Werte an. Zum Beispiel die Zahl der Studierenden an einer Universität.
Die Normalverteilung ist die Grundlage für andere Verteilungen wie die Student-t-Verteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung, die Fisher-F-Verteilung und andere Verteilungen.
Formel der Normalverteilung
Bei einer gegebenen Zufallsvariablen X sagen wir, dass die Häufigkeit ihrer Beobachtungen zufriedenstellend an eine Normalverteilung angenähert werden kann, so dass:
Wobei die Parameter der Verteilung der Mittel- oder Zentralwert und die Standardabweichung sind:
Mit anderen Worten, wir sagen, dass die Häufigkeit einer Zufallsvariablen X durch eine Normalverteilung dargestellt werden kann.
Darstellung
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Zufallsvariablen, die einer Normalverteilung folgt.
Eigenschaften
- Es handelt sich um eine symmetrische Verteilung. Der Wert von Mittelwert, Median und Modus stimmen überein. Mathematisch,
Mittelwert = Median = Modus
- Unimodale Verteilung. Die Werte, die häufiger auftreten oder mit größerer Wahrscheinlichkeit auftreten, liegen um den Mittelwert. Mit anderen Worten, wenn wir uns vom Mittelwert entfernen, nimmt die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Werte und deren Häufigkeit ab.
Was brauchen wir, um eine Normalverteilung darzustellen?
- Eine Zufallsvariable.
- Berechnen Sie den Mittelwert.
- Berechnen Sie die Standardabweichung.
- Entscheiden Sie, welche Funktion wir darstellen möchten: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder Verteilungsfunktion.
Theoretisches Beispiel
Wir gehen davon aus, dass wir wissen wollen, ob die Ergebnisse eines Tests eine Normalverteilung zufriedenstellend annähern können.
Wir wissen, dass 476 Schüler an diesem Test teilnehmen und die Ergebnisse zwischen 0 und 10 liegen können. Wir berechnen den Mittelwert und die Standardabweichung aus den Beobachtungen (Testergebnisse).
Wir definieren also die Zufallsvariable X als Testergebnisse, die von jedem einzelnen Ergebnis abhängen. Mathematisch,
Die Punktzahl jedes Schülers wird in einer Tabelle festgehalten. Auf diese Weise erhalten wir einen globalen Überblick über die Ergebnisse und deren Häufigkeit.
| Ergebnisse | Frequenz |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| GESAMT | 476 |
Sobald die Tabelle erstellt ist, stellen wir die Ergebnisse der Untersuchung und die Häufigkeiten dar. Wenn das Diagramm wie das vorherige Bild aussieht und die Eigenschaften erfüllt, kann die Testergebnisvariable zufriedenstellend an eine Normalverteilung von Mittelwert 4,8 und Standardabweichung von 3,09 angenähert werden.
Können sich die Testergebnisse einer Normalverteilung annähern?
Gründe für die Annahme, dass die Testergebnisvariable einer Normalverteilung folgt:
- Symmetrische Verteilung. Das heißt, es gibt sowohl rechts als auch links vom zentralen Wert die gleiche Anzahl von Beobachtungen. Außerdem müssen Mittelwert, Median und Modus denselben Wert haben.
Mittelwert = Median = Modus = 5
- Die Beobachtungen mit der höchsten Häufigkeit oder Wahrscheinlichkeit liegen um den zentralen Wert. Mit anderen Worten, die Beobachtungen mit geringerer Häufigkeit oder Wahrscheinlichkeit sind weit vom zentralen Wert entfernt.
Die Normalverteilung beschreibt die Zufallsvariable durch eine Näherung, die Standardfehler erzeugt (die Balken über jeder Spalte). Diese Fehler sind die Differenz zwischen den tatsächlichen Beobachtungen (Ergebnisse) und der Dichtefunktion (Normalverteilung).
