Die Cramér-Rao-Grenze (CCR) ist die minimale Varianz, die ein Schätzer eines Parameters unter gegebenen Regularitätsbedingungen erreichen kann.
Mit anderen Worten, wir suchen nach der Varianz, die dieser unteren Grenze am nächsten liegt, um den besten Schätzer gemäß den Eigenschaften der Unverzerrtheit und der Effizienz zu finden.
Es wird empfohlen, die Eigenschaften der Schätzer zu lesen
Diese Eigenschaften werden verwendet, wenn wir einen Schätzer auswählen müssen, um eine ökonometrische Analyse durchzuführen. Wenn wir wollen, dass unsere Ergebnisse schlüssig sind, müssen wir zumindest verlangen, dass der Schätzer unverzerrt ist und die kleinstmögliche Varianz aller unverzerrten Schätzer (Effizienz) aufweist.
Obwohl wir alle unverzerrten Schätzer berücksichtigen, kann es bei der Suche nach dem minimalen Varianzschätzer vorkommen, dass es einen anderen unverzerrten Schätzer gibt, der eine geringere Varianz aufweist.
Damit uns kein unverzerrter Schätzer mit minimaler Varianz entgeht, legen wir eine minimale oder untere Schranke fest, die die Varianz des unverzerrten Schätzers eines Parameters nicht überschreiten kann.
Wir betrachten nur die unverzerrten Schätzer, da die verzerrten Schätzer Abweichungen aufweisen können, die geringer sind als die CCR.
Formulierung
Wir definieren:
f (X; Θ): Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
E (·): mathematische Hoffnung.
ich (Θ): Fisher-Information eines Parameters.
Stellt "die Informationsmenge" über den Wert des Parameters dar, der in einer Beobachtung der Zufallsvariablen X enthalten ist.
Formel:
Keine Panik! Was können wir an dieser Formel auf den ersten Blick erkennen?
- Wir sehen, dass es sich um eine nicht strikte Ungleichung (≥) anstelle einer Gleichheit (=) handelt. Dies liegt daran, dass wir in einigen Fällen keinen unverzerrten Schätzer finden (nicht existiert), der die CCR-Grenze erreicht. Daher sagen wir, dass wir nach der Varianz eines unverzerrten Schätzers suchen, die so nahe wie möglich an dieser unteren Grenze liegt. Außerdem sagt uns die CCR, wie hoch die minimale Varianz des Schätzers sein wird, unterhalb dieser Zahl kann sie nicht gefunden werden.
- Der rechte Teil (var (Θ ’) ist die Varianz der Schätzung unseres Parameters.
- Der linke Teil (1 / J (Θ)) ist das unüberwindbare Minimum der Varianz.
- Wenn wir nach einem (absoluten) Minimum für die Varianz des Schätzers von Θ suchen, ist es logisch, dass partielle Ableitungen (Ableitung nach Θ) auftreten.
- In der Ökonomie werden partielle Ableitungen in Bedingungen erster und zweiter Ordnung verwendet, um Nutzenfunktionen zu optimieren: Finden Sie die relativen und absoluten Maxima bzw. Minima.
- CCR verwendet die erste partielle Ableitung des Parameters Θ auf der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (X; Θ)
- Zur Vereinfachung der Berechnung werden in einigen Fällen die zweite Ableitung und alternative Fisher-Informationen verwendet, um CCR zu erhalten.
Die Schätzer, die, da sie unverzerrt sind, eine Varianz gleich der CCR aufweisen, werden dann als die effizientesten angesehen. In ähnlicher Weise werden diejenigen, die nicht verzerrt sind, deren Varianz näher ist, als relativ effizienter angesehen als die anderen Schätzer (weiter entfernt).