Eigenvektoren sind Vektoren, die bei den linearen Transformationen einer Matrix mit einem Eigenwert multipliziert werden. Die Eigenwerte sind Konstanten, die die Eigenvektoren in den linearen Transformationen einer Matrix multiplizieren.
Mit anderen Worten, die Eigenvektoren übersetzen die Informationen aus der ursprünglichen Matrix in die Multiplikation von Werten und einer Konstanten. Die Eigenwerte sind diese Konstante, die die Eigenvektoren multipliziert und an der linearen Transformation der ursprünglichen Matrix teilnimmt.
Obwohl sein Name auf Spanisch sehr beschreibend ist, heißen die Eigenvektoren auf Englisch Eigenvektoren und die Eigenwerte, Eigenwerte.
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Eigene Vektoren
Die Eigenvektoren sind Mengen von Elementen, die durch Multiplikation einer beliebigen Konstanten mit der Multiplikation der ursprünglichen Matrix und der Mengen von Elementen äquivalent sind.
Mathematisch ist ein EigenvektorV= (v1,…, Vnein) einer quadratischen MatrixQ ist ein VektorV was den folgenden Ausdruck für jede Konstante erfülltha:
QV = hV
Eigene Werte
Die Konstante ha ist der Eigenwert, der zum Eigenvektor gehört V.
Die Eigenwerte sind die reellen Wurzeln (Wurzeln, die reelle Zahlen als Lösung haben), die wir durch die charakteristische Gleichung finden.
Eigenschaften von Eigenwerten
- Jeder Eigenwert hat unendliche Eigenvektoren, da es unendlich viele reelle Zahlen gibt, die Teil jedes Eigenvektors sein können.
- Sie sind Skalare, sie können komplexe Zahlen sein (nicht reell) und sie können identisch sein (mehr als ein gleicher Eigenwert).
- Es gibt so viele Eigenwerte wie Zeilenanzahl (ich) oder Spalten (nein) hat die ursprüngliche Matrix.
Vektoren und Eigenwerte
Zwischen Vektoren und Eigenwerten besteht eine lineare Abhängigkeitsbeziehung, da die Eigenwerte die Eigenvektoren multiplizieren.
Mathematisch
Ist V ein Eigenvektor der MatrixZ Ja ha ist der Eigenwert der Matrix Z, dannhV ist eine Linearkombination zwischen Vektoren und Eigenwerten.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion wird verwendet, um die Eigenwerte einer Matrix zu findenZ Quadrat.
Mathematisch
(Z - hl) V = 0
Wo ZJaha sind oben definiert undich ist die Identitätsmatrix.
Bedingungen
Um Vektoren und Eigenwerte einer Matrix zu finden, muss sie erfüllt sein:
- Matrix Z quadrat: die anzahl der reihen (ich) ist gleich der Anzahl der Spalten (nein).
- Matrix Z Real. Die meisten im Finanzwesen verwendeten Matrizen haben echte Wurzeln. Welchen Vorteil hat die Verwendung echter Wurzeln? Nun, die Eigenwerte der Matrix werden niemals komplexe Zahlen sein, und das, Freunde, löst unser Leben sehr.
- Matrix (Z- Hallo) nicht invertierbar: Determinante = 0. Diese Bedingung hilft uns, immer andere Eigenvektoren als Null zu finden. Wenn wir Eigenvektoren gleich 0 gefunden hätten, wäre die Multiplikation zwischen Werten und Eigenvektoren Null.
Praxisbeispiel
Wir nehmen an, dass wir die Vektoren und Eigenwerte von a . finden wollenZ 2 × 2-dimensionale Matrix:
1. Wir ersetzen die Matrix Z Jaich in der charakteristischen Gleichung:
2. Wir fixieren die Faktoren:
3. Wir multiplizieren die Elemente, als ob wir nach der Determinante der Matrix suchen würden.
4. Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist h = 2 und h = 5. Zwei Eigenwerte wegen der Anzahl der Zeilen oder Spalten in der Matrix Z ist 2. Wir haben also die Eigenwerte der Matrix gefunden Z was wiederum die Determinante 0 macht.
5. Um die Eigenvektoren zu finden, müssen wir lösen:
6. Zum Beispiel (v1, v2) = (1,1) für h = 2 und (v1, v2) = (- 1,2) für h = 5:
