Nichtlineare Programmierung ist eine Methode, mit der eine Zielfunktion optimiert wird, entweder durch Maximieren oder Minimieren. Dies unter Berücksichtigung unterschiedlicher Einschränkungen. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass die Zielfunktion oder einige der Einschränkungen nichtlinear sein können.
Nichtlineare Programmierung ist also ein Prozess, bei dem sich die zu maximierende Funktion oder eine der Einschränkungen von einer linearen oder Gleichung ersten Grades unterscheidet, bei der die Variablen mit 1 potenziert werden.
Wir müssen uns daran erinnern, dass eine lineare Gleichung eine mathematische Gleichheit ist, die eine oder mehrere Unbekannte haben kann. Somit hat es die folgende Grundform, wobei a und b die Konstanten sind, während x und y die Variablen sind:
ax + b = y
Es sollte hinzugefügt werden, dass nicht alle Elemente, aus denen diese Art der Programmierung besteht, dieser Eigenschaft entsprechen. Zum Beispiel kann es sein, dass die Zielfunktion eine Gleichung zweiten Grades ist und eine der Variablen quadriert ist, die folgende Form erfüllt:
y = ax2+ bx + c
Durch nichtlineare Programmierung könnte diese Funktion nun optimiert werden, um den maximalen oder minimalen Wert von y zu finden. Dies unter Berücksichtigung, dass x gewissen Einschränkungen unterliegt.
Elemente der nichtlinearen Programmierung
Die Hauptelemente der nichtlinearen Programmierung sind die folgenden:
- Zielfunktion: Es ist die Funktion, die optimiert wird, entweder durch Maximieren oder Minimieren ihres Ergebnisses.
- Beschränkungen: Dies sind die Bedingungen, die bei der Optimierung der Zielfunktion erfüllt sein müssen. Es können algebraische Gleichungen oder Ungleichungen sein.
Übung zur nichtlinearen Programmierung
Sehen wir uns zum Abschluss eine nichtlineare Programmierübung an.
Angenommen, wir haben die folgende Funktion:
y = 25 + 10x-x2
Außerdem haben wir folgende Einschränkung:
y = 50-3x
Wie wir in der Grafik sehen können, schneiden sich die Zielfunktion und die Restriktion an zwei Punkten, wobei y jedoch maximiert ist, wenn x = 2,3, wobei y = 43 (Dezimalstellen sind Näherungswerte).
Die Cut-Off-Punkte können durch Gleichsetzen beider Gleichungen ermittelt werden:
25 + 10x-x2= 50-3x
0 = x2-13x + 25
Dann hat die obige quadratische Gleichung zwei Lösungen oder Wurzeln, die mit den folgenden Formeln gefunden werden können, wobei a = 1, b = -13 und c = 25.
Somit finden wir x1 = 2,3467 (y = 43) und x2 = 10,653 (y = 18).
Wir müssen davor warnen, dass diese Art der Programmierung komplexer als linear ist und es online nicht so viele Tools gibt, um diese Art der Optimierung zu lösen. Das gezeigte Beispiel ist ein sehr vereinfachter Fall.