Der Durchschnitt ist eine repräsentative Zahl, die einem Zahlenverzeichnis entnommen werden kann. Es hängt normalerweise mit dem Konzept des arithmetischen Mittels zusammen.
Dies bedeutet, dass normalerweise der Durchschnitt das Ergebnis der Addition einer Gruppe von Zahlen und der Division durch die Anzahl der Summanden ist.
Bei den folgenden Zahlen zum Beispiel: 10, 23, 45, 67, 81, 23 und 75 wäre der Durchschnitt:
(10+23+45+67+81+23+75)/7=46,28
Im weiteren Sinne ist ein Durchschnitt jedoch eine Art Mittelweg, in dem sich eine Situation befindet.
Man kann zum Beispiel sagen, dass Menschen, die einen bestimmten Film sehen, im Durchschnitt zufrieden sind.
Durchschnitts- und Extremwerte
Wenn wir den Durchschnitt als arithmetischen Mittelwert verstehen, besteht die Gefahr des Vertrauens darin, dass wir die Extremwerte nicht berücksichtigen.
Nehmen wir an einem Beispiel an, dass das durchschnittliche Einkommen in einem Unternehmen 5.000 Euro im Monat beträgt. Dieser Durchschnitt umfasst jedoch sowohl den Geschäftsführer, der mehr als 10.000 Euro im Monat verdient, als auch rangniedrigere Mitarbeiter, die ab 1.200 Euro verdienen können.
Um ein anderes Beispiel zu geben, nehmen wir an, eine Gruppe von 8 Freunden bestellt eine Familienpizza für den Abend. Intuitiv können wir sagen, dass jeder der Freunde 1/8 der Pizza gegessen hat. Nehmen wir jedoch an, dass drei der versammelten Freunde keine Pizza gegessen haben. Außerdem konsumierte einer der Freunde, der Pizza gegessen hatte, doppelt so viel wie die anderen. Wir haben also vier Personen 1/6 der Pizza gegessen und eine fünfte Person 2/6 (oder 1/3) der Pizza gegessen.
Um Probleme wie in den gezeigten Beispielen zu vermeiden, kann in jedem Fall nicht nur das arithmetische Mittel analysiert werden, sondern auch der Median, der, wie wir in unserem Artikel erklärt haben, der Wert ist, der sich in der Mitte befindet. Dies, wenn die Daten vom kleinsten zum größten geordnet sind.
Durchschnittliche Beispiele
Im zuvor gezeigten Beispiel, wo wir die folgenden Nummern haben: 10, 23, 45, 67, 81, 23 und 75, bestellen wir sie zuerst:
10, 23, 23, 45, 67, 75, 81
Da wir eine ungerade Anzahl von Daten haben, ist der Median der Wert der Beobachtung (n + 1) / 2, wobei n die Datennummer ist.
Das heißt, im gezeigten Beispiel ist der Median der Wert der Beobachtung 4 (Ergebnis der Addition von 7 plus 1 und Division durch zwei): (7 + 1) / 2 = 8/2 = 4.
Wie wir beobachtet haben, beträgt der vierte Datensatz in der Reihe 45, während das arithmetische Mittel, wie wir zuvor berechnet haben, 46,28 betrug.
Obwohl der arithmetische Mittelwert in der Verteilung weiter rechts oder links liegen kann, wird der Median also immer in der Mitte liegen.
Ein weiteres relevantes Datum ist der Modus, also der Wert, der in der Probe am häufigsten wiederholt wird. Um auf das gleiche Beispiel zurückzukommen (die Serie mit den Zahlen 10, 23, 23, 45, 67, 75 und 81), ist der Modus 23, die einzige Zahl, die sich wiederholt.
Gewichteter Durchschnitt
Eine wiederkehrende Verwendung des Durchschnitts ist auch der gewichtete Durchschnitt, bei dem es eine Reihe von Daten gibt, von denen jede eine andere Bedeutung hat. Um den Mittelwert zu berechnen, muss daher jedes Datenelement mit seinem relativen Gewicht multipliziert werden.
Angenommen, der Geschichtskurs hat sechs Noten, vier benotete Übungen mit einem Gewicht von 15 % und zwei Prüfungen (eine Abschlussprüfung und eine Zwischenprüfung) mit jeweils 20 %.
Stellen wir uns nun vor, dass ein Schüler in seinen benoteten Übungen die folgenden Ergebnisse erzielt hat (von 0 bis 10): 7,6,8,6. Inzwischen hatte er in seiner Zwischen- und Abschlussprüfung die Note 7 bzw. 6. Wie hoch ist der gewichtete Durchschnitt des Studenten?
7*(0,15)+6*(0,15)+8*(0,15)+6*(0,15)+7*(0,2)+6*(0,2)=6,65