Das Arrow-Paradox (benannt nach seinem Begründer, dem Ökonomen Kenneth Arrow) ist auch als Unmöglichkeitssatz bekannt. Ihre Formulierung zeigt, dass Sozialwahlen im Gegensatz zu Einzelwahlen nicht bestimmten Rationalitätskriterien genügen und gleichzeitig demokratische Grundprinzipien respektieren können.
Im 20. Jahrhundert wurden Unmöglichkeitssätze zu einem wichtigen Bestandteil der Mathematik. Arrows Unmöglichkeitssatz, der in seinem Buch "Social Choice and Individual Values" (1951) populär gemacht wurde, ist einer der ersten Unmöglichkeitssätze außerhalb der reinen Mathematik, der einen großen Einfluss auf die Sozialwissenschaften hatte.
Damit schuf Arrow einen neuen Zweig der Wohlfahrtsökonomie namens Social-Choice-Theorie.
Ein Theorem für die Sozialwahltheorie
Arrow unterscheidet zwischen individuellen und kollektiven Entscheidungen bzw. Wahlmöglichkeiten. In verschiedenen Wissenschaften oder Disziplinen (wie Wirtschaftswissenschaften, Soziologie oder Politikwissenschaft) wird allgemein akzeptiert, dass Individuen rationale Entscheidungen treffen.
Das heißt, sie erfüllen die Kriterien der Transitivität, Universalität und Reflexivität.
Die Kriterien der Rationalität: Transitivität, Universalität und Reflexivität
Die drei Rationalitätskriterien, auf die sich Arrow bezieht, um individuelle von sozialen Entscheidungen zu unterscheiden, sind Transitivität, Universalität und Reflexivität. Lassen Sie uns die Eigenschaften von jedem von ihnen sehen.
Transitivität: Die transitive Eigenschaft ist eine der Eigenschaften, die die Beziehungen zwischen den verschiedenen Elementen einer Menge charakterisiert. Angenommen, eine Person (x) kann zwischen drei Optionen wählen: A, B und C.
- Wenn eine Person A gegenüber B bevorzugt
- und dieselbe Person bevorzugt B gegenüber C,
- Aufgrund der transitiven Eigenschaft folgt aus dieser Situation, dass er A gegenüber C bevorzugt.
Daher ermöglicht die Transitivität nicht nur einem Subjekt, seine bevorzugte Option zu wählen, sondern auch eine Reihenfolge der Präferenzen zwischen den verschiedenen Alternativen, die es wählen kann, festzulegen.
Universalität: Die Universalitätsannahme geht davon aus, dass möglichst viele Kombinationen möglich sind. Bei drei Alternativen (A, B und C) wären also sechs Kombinationen möglich, wie zum Beispiel die folgenden:
- A ist besser als B.
- B ist besser als A.
- B ist besser als C.
- C ist besser als B.
- C ist besser als A.
- A ist besser als C.
Reflexionsvermögen: Zeigt an, dass jede Alternative auf sich selbst bezogen ist. Beispielsweise:
- A könnte größer oder gleich A sein.
- A kann kleiner oder gleich A sein.
Demokratische Kriterien
Zusätzlich zu diesen drei Elementen fügt Kenneth Arrow zwei weitere Kriterien hinzu, die seiner Meinung nach wesentlich sind, um zu verstehen, dass ein Wahlmodell demokratisch ist:
Keine Diktatur: Kein Individuum kann die Reihenfolge der Präferenzen eines anderen Individuums bestimmen. Das heißt, Individuen treffen Entscheidungen unabhängig und frei.
Keine Auferlegung: Die einzigen Kriterien für die Einordnung sozialer Präferenzen sind individuelle Ordnungen, ohne andere Kriterien wie Tradition oder irgendeine Form von Zwang aufzuerlegen.
Wo ist das Pfeil-Paradoxon?
Arrow fragte sich, ob es eine Möglichkeit gibt, ein kollektives Entscheidungsverfahren zu etablieren, das allen Anforderungen an Rationalität gerecht wird und gleichzeitig demokratisch ist. Seine Antwort war unverblümt: Nein.
Arrow hat mit seinem Unmöglichkeitstheorem gezeigt, dass es unmöglich ist, eine Abstimmungs- oder kollektive Wahlmethode zu entwerfen, die in Kontexten, in denen man zwischen drei oder mehr Optionen wählen kann, die Annahmen der Rationalität und gleichzeitig die demokratischen Kriterien erfüllt .
Das Problem tritt auf, wenn man versucht, individuelle Präferenzen in soziale oder kollektive Präferenzen zu übersetzen. Das heißt, wenn versucht wird, eine Abstimmungs- oder Wahlmethode aufzubauen, die es ermöglicht, eine Ordnung zwischen den verschiedenen Alternativen auf sozialer Ebene herzustellen. Unter diesen Umständen ist es möglich, dass die Transitivität verschwindet und zirkulären oder intransitiven Beziehungen Platz macht, in denen es nicht möglich ist, eine Präferenzordnung festzulegen.
Arrow begann mit dem sogenannten Condorcet-Paradoxon. Während der Französischen Revolution bekräftigte dieser berühmte französische Philosoph und Mathematiker, dass kollektive Entscheidungen nicht unbedingt transitiv sind, was dazu führen kann, dass A vor B, B vor C und, hier ist das Paradox, C vor A bevorzugt wird.
Ein Beispiel für Arrows Paradox
Angenommen, die drei Personen Marta, Juan und Clara wollen ein Auto kaufen und müssen sich zwischen drei Farben entscheiden: Blau, Weiß und Khaki. Jeder von ihnen bestellt nach Wunschfarben, falls das gewünschte Modell nicht in seiner Lieblingsfarbe ist.
| Name | Präferenz 1 | Präferenz 2 | Präferenz 3 |
|---|---|---|---|
| Martha | Blau zu Weiß | Weiß bis Khaki | Blau bis Khaki |
| Juan | Weiß bis Khaki | Khaki bis Blau | Weiß zu Blau |
| klar | Khaki bis Blau | Blau zu Weiß | Khaki bis Weiß |
In diesem Beispiel werden individuelle Präferenzen als transitiv angesehen. Mit anderen Worten, wenn jeder von ihnen die Farbe seines Autos individuell wählt, wenn wie Marta A gegenüber B und B vor C bevorzugt wird, folgt daraus, dass A gegenüber C bevorzugt wird.
Wenn es jedoch eine Abstimmung über die gemeinsame Wahl der Farbe eines Autos ist, das sie teilen werden, und die Kriterien der Demokratie erfüllt sind (keine Diktatur und keine Auferlegung), kann das in der Tabelle gezeigte Szenario eintreten, in dem die Mehrheit bevorzugt A vor B und B vor C, aber nicht A vor C. Auf diese Weise hat die Summe der transitiven individuellen Präferenzen zu einer intransitiven kollektiven Präferenz geführt.
Was sind die Auswirkungen von all dem?
Das Theorem zeigt, dass es unter diesen minimalen Annahmen unmöglich ist, ein Verfahren zu konstruieren, das zu einem kollektiv rationalen Ausdruck individueller Wünsche führt.
Obwohl es in seiner Aussage sehr technisch ist, hat das Theorem wichtige Implikationen für die Philosophien der Demokratie und der politischen Ökonomie, da es die Vorstellung eines kollektiven demokratischen Willens ablehnt, sei es durch bürgerliche Überlegungen abgeleitet oder von Experten interpretiert eine Bevölkerung.
Das Theorem bestreitet auch, dass es objektive Grundbedürfnisse oder universelle Kriterien geben kann, die in jedem Verfahren zur kollektiven Entscheidungsfindung angewendet werden müssen, da es schließlich unmöglich ist, perfekte Regeln zu erreichen.