Die Cholesky-Zerlegung ist eine spezielle Art der LU-Matrix-Zerlegung aus dem Englischen Lower-Upper, die darin besteht, eine Matrix in das Produkt von zwei oder mehr Matrizen zu zerlegen.
Mit anderen Worten, die Cholesky-Zerlegung besteht darin, eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten (quadratische Matrix) mit einer Matrix mit Nullen über der Hauptdiagonale multipliziert mit ihrer Matrix gleichzusetzen, die mit Nullen unter der Hauptdiagonale transponiert ist.
Die LU-Zerlegung kann im Gegensatz zu Cholesky auf verschiedene Arten von quadratischen Matrizen angewendet werden.
Cholesky-Zersetzungseigenschaften
Die Cholesky-Zerlegung besteht aus:
- Eine obere dreieckige quadratische Matrix: Quadratische Matrix, die nur Nullen unterhalb der Hauptdiagonale hat.
- Eine untere dreieckige quadratische Matrix: Eine Matrix, die nur Nullen oberhalb der Hauptdiagonalen hat.
Mathematisch, wenn eine positiv definit symmetrische Matrix existiert, UND, dann existiert eine untere dreieckssymmetrische Matrix, K, von der gleichen Dimension wie UND, ergebend:
Die obige Matrix erscheint als die Cholesky-Matrix von E. Diese Matrix fungiert als Quadratwurzel der Matrix E. Wir wissen, dass der Bereich der Quadratwurzel ist:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Welches ist in allen nicht-negativen reellen Zahlen definiert. Genauso wie die Quadratwurzel existiert die Cholesky-Matrix nur, wenn die Matrix halbpositiv definit ist. Eine Matrix ist semi-positiv definiert, wenn die großen Minderjährigen eine positive oder Null-Determinante haben.
Die Cholesky-Zerlegung von UND ist eine Diagonalmatrix, so dass:
Wir sehen, dass die Matrizen quadratisch sind und die genannten Merkmale enthalten; Nullendreieck oberhalb der Hauptdiagonale in der ersten Matrix und Nullendreieck unterhalb der Hauptdiagonale in der transformierten Matrix.
Cholesky-Zerlegungsanwendungen
Im Finanzwesen wird es verwendet, um die Realisierungen unabhängiger Normalvariablen in Normalvariablen umzuwandeln, die gemäß einer Korrelationsmatrix korreliert sind UND.
Wenn N ein Vektor unabhängiger Normalen (0,1) ist, folgt ein Vektor von Normalen (0,1) korreliert gemäß UND.
Beispiel für Cholesky-Zerlegung
Dies ist das einfachste Beispiel, das wir für die Cholesky-Zerlegung finden können, da die Matrizen quadratisch sein müssen, in diesem Fall ist die Matrix (2 × 2). Zwei Zeilen mal zwei Spalten. Darüber hinaus erfüllt es die Eigenschaften, Nullen ober- und unterhalb der Hauptdiagonale zu haben. Diese Matrix ist semi-positiv definit, weil die großen Minderjährigen eine positive Determinante haben. Wir definieren:
Auflösen nach: c2 = 4; b · c = –2; zu2+ b2 = 5; wir haben vier mögliche Cholesky-Matrizen:
Schließlich berechnen wir, um (a, b, c) zu finden. Sobald wir sie gefunden haben, haben wir die Cholesky-Matrizen. Die Berechnung ist wie folgt:
