Quartil - Was ist das, Definition und Konzept

Das Quartil ist jeder der drei Werte, die eine Gruppe von Zahlen, geordnet vom kleinsten zum größten, in vier gleiche Teile teilen können.

Mit anderen Worten, jedes Quartil bestimmt die Trennung zwischen einer Untergruppe und einer anderen innerhalb einer Reihe von untersuchten Werten. Daher nennen wir das erste, zweite und dritte Quartil Q1, Q2 und Q3.

Die Daten unterhalb von Q1 machen 25 % der Daten aus, diejenigen unterhalb von Q2 50 % und diejenigen unterhalb von Q3 75 %.

Das Konzept des Quartils ist typisch für die deskriptive Statistik und sehr nützlich für die Datenanalyse.

Es ist zu beachten, dass Q2 mit dem Median übereinstimmt, bei dem es sich um statistische Daten handelt, die die Wertemenge in zwei gleiche oder symmetrische Teile aufteilen.

Ein weiterer zu beachtender Punkt ist, dass das Quartil eine Art Quantil ist. Dies ist ein Punkt oder Wert, mit dem Sie eine Gruppe von Daten in identischen Intervallen verteilen können.

Berechnung des Quartils

Um das Quartil einer Datenreihe zu berechnen, können wir nach der Sortierung vom kleinsten zum größten die folgende Formel verwenden, wobei «a» die Werte 1,2 und 3 annimmt und N die Anzahl der analysierten Werte ist:

a (N + 1) / 4

Ebenso müssen wir, wenn wir eine Tabelle mit akkumulierten Häufigkeiten haben, der folgenden Formel folgen:

In der obigen Formel ist Li die untere Grenze der Klasse, in der sich das Quartil befindet, N ist die Summe der absoluten Häufigkeiten, Fi-1 ist die akkumulierte Häufigkeit der vorherigen Klasse und Ai ist die Amplitude der Klasse, d. die Anzahl der Werte, die das Intervall enthält.

Beispiel für eine Quartil-Berechnung

Schauen wir uns ein Beispiel für eine Quartilberechnung mit einer Reihe von Zahlen an:

31, 24, 56,78, 91, 13, 51, 74, 32, 46, 93, 141

Der erste Schritt besteht darin, vom kleinsten zum größten zu bestellen:

13, 24, 31, 32, 46, 51, 56, 74, 78, 91, 93, 141

Wir können also die drei Quartile berechnen:

Q1 = 1x (12 + 1) / 4 = 3,25

Da wir es also mit einer nicht ganzzahligen Zahl zu tun haben, addieren wir zum Finden des ersten Quartils die Zahl an Position 3 plus den Dezimalteil (0,25) multipliziert mit der Differenz zwischen der Zahl an Position 3 und der Zahl an Position 4 ( wenn es eine ganze Zahl wäre, zum Beispiel 3, würden wir nur die Zahl an Position 3 nehmen.

31+0,25(32-31)=31+0,25=31,25

Im Fall des zweiten Quartils führen wir eine ähnliche Operation durch:

Q2 = 2 * (12 + 1) / 4 = 6,5

Wir addieren die Zahl an Position 6 plus den Dezimalteil (0,5) multipliziert mit der Differenz zwischen der Zahl an Position 6 und der Zahl an Position 7.

51+(0,5*(56-51))=51+(0,5*5)=51+2,5=53,5

Dann führen wir die gleiche Operation mit dem dritten Quartil durch:

Q3 = 3x (12 + 1) / 4 = 9,75

Wir addieren die Zahl an Position 9 plus den Dezimalteil (0,75) multipliziert mit der Differenz zwischen der Zahl an Position 9 und der Zahl an Position 10.

78+(0,75*(91-78))=78+9,75=87,75

Zusammenfassend sind Q1, Q2 und Q3 3,25; 53,5 bzw. 87,57.

Berechnung des gepoolten Datenquartils

Als Nächstes sehen wir uns an, wie die Quartile der in Intervallen gruppierten Daten berechnet werden:

Für das erste Quartil berechnen wir zunächst aN / 4 = 1 * 32/4 = 8. Das heißt, das erste Quartil liegt im zweiten Intervall (165,180), dessen untere Grenze (Li) 165 ist. Die akkumulierte Frequenz des vorherigen Intervalls (Fi-1) ist 7. Außerdem ist fi 17 und die Klassenamplitude ( Ai ) ist 15.

Wir wenden also die im vorherigen Abschnitt erwähnte Formel an:

Für das zweite Quartil berechnen wir aN / 4 = 2 * 32/4 = 16. Das heißt, das zweite Quartil liegt auch im zweiten Intervall, also sind Li, Fi-1 und fi gleich.

Schließlich berechnen wir für das dritte Quartil aN / 4 = 3 * 32/4 = 24. Das heißt, das dritte Quartil liegt auch im zweiten Intervall.