Die Vereinigung von Ereignissen ist eine Operation, deren Ergebnis sich aus allen nicht wiederholten Elementarereignissen zusammensetzt, die zwei oder mehr Mengen gemeinsam und nicht gemeinsam haben.
Das heißt, bei zwei Mengen A und B würde die Vereinigung von A und B durch alle sich nicht wiederholenden Mengen gebildet, die A und B haben. Intuitiv würde die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen von A und B implizieren, dass Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A herauskommt oder dass B herauskommt?
Das Symbol für die Vereinigung von Ereignissen ist U. Wenn wir die Vereinigung von zwei Ereignissen B und D mathematisch beachten wollen, würden wir sie als: B U D bemerken.
Verallgemeinerung von Ereignisvereinigungen
Bisher haben wir die Vereinigung zweier Ereignisse gesehen und angedeutet. Zum Beispiel A U B oder B U D. Aber was ist, wenn wir drei, vier oder sogar hundert Ereignisse haben?
Dies ist, was wir Generalisierung nennen, d. h. eine Formel, die uns hilft, die Vereinigung von Ereignissen in diesen Fällen zu erkennen. Wenn wir 8 Ereignisse haben, verwenden wir anstelle der zehn Ereignisse die folgende Notation:
Anstatt jedes Ereignis A, B oder irgendeinen Buchstaben zu nennen, werden wir Ja nennen. S ist das Ereignis und das tiefgestellte i gibt die Zahl an. So haben wir am Beispiel von 10 Ereignissen folgendes:
Was wir getan haben, ist, die vorherige Notation anzuwenden und zu entwickeln. Jetzt müssen wir nicht immer. Vor allem, wenn es um viele Veranstaltungen geht.
Vereinigung von disjunkten und nicht disjunkten Ereignissen
Das Konzept der disjunkten Ereignisse besagt, dass zwei Ereignisse keine gemeinsamen Elemente haben.
Wenn sie disjunkt sind, ist die Ereignisvereinigungsoperation einfach. Sie müssen nur die Wahrscheinlichkeiten von beiden addieren, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass das eine oder andere Ereignis eintritt. Wenn die Ereignisse jedoch nicht zusammenhangslos sind, muss ein kleines Detail hinzugefügt werden. Wiederholte Elemente müssen eliminiert werden. Beispielsweise:
Angenommen, ein Ergebnisraum geht von 1 bis 5. Die Ereignisse sind wie folgt:
Ereignis A: (1,2,4) -> 60% Wahrscheinlichkeit = 0,6
Ereignis B: (1,4,5) -> 60% Wahrscheinlichkeit = 0,6
Die Operation A U B würde intuitiv darin bestehen, die Ereignisse von A und die Ereignisse von B zu addieren, aber wenn wir dies tun, wäre die Wahrscheinlichkeit 1,2 (0,6 + 0,6). Und wie die Wahrscheinlichkeitsaxiome zeigen, muss die Wahrscheinlichkeit immer zwischen 0 und 1 liegen. Wie lösen wir sie? Subtrahieren der Schnittmenge der Ereignisse A und B. Das heißt, Entfernen der Elemente, die sich wiederholen:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Wenn wir uns den Wahrscheinlichkeiten zuwenden, müssten wir:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 + 0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 oder 2 oder 4 oder 5 erscheinen wird, unter der Annahme, dass alle Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, 80 % zu erreichen.
Grafisch würde es so aussehen:
Eigenschaften von Ereignisvereinigungen
Die Vereinigung von Ereignissen ist eine Art mathematischer Operation. Einige Operationsarten sind auch Addition, Subtraktion, Multiplikation. Jeder von ihnen hat eine Reihe von Eigenschaften. Wir wissen zum Beispiel, dass das Ergebnis der Addition von 3 + 4 genau das gleiche ist wie das der Addition von 4 + 3. An dieser Stelle hat die Ereignisvereinigung mehrere wissenswerte Eigenschaften:
- Kommutativ: Dies bedeutet, dass die Reihenfolge, in der es geschrieben wird, das Ergebnis nicht ändert. Beispielsweise:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Assoziativ: Angenommen, es gibt drei Ereignisse, ist es uns egal, welches zuerst und welches als nächstes durchgeführt wird. Beispielsweise:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Verteilend: Wenn wir den Schnitttyp der Operation einbeziehen, gilt die Verteilungseigenschaft. Schauen Sie sich einfach das folgende Beispiel an:
- A U (B C) = (A U B) ∩ (A U C)
Beispiel für eine Ereignisvereinigung
Ein einfaches Beispiel für die Vereinigung zweier Ereignisse A und B wäre das folgende. Nehmen wir den Fall des Wurfs eines perfekten Würfels an. Ein Würfel mit sechs Seiten, die von 1 bis 6 nummeriert sind, so dass die Ereignisse wie folgt definiert sind:
ZU: Dass es größer als 2 ist. (3,4,5,6) mit Wahrscheinlichkeit ist 4/6 => P (A) = 0,67
C: Lass fünf herauskommen. (5) mit Wahrscheinlichkeit ist 1/6 => P (C) = 0.17
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von A U C?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Da P (A) und P (C) es bereits haben, berechnen wir P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) in Wahrscheinlichkeiten P (A ∩ C) = 1/6 = 0.17
Das Endergebnis ist:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Die Wahrscheinlichkeit, dass er größer als 2 würfelt oder dass er 5 würfelt, beträgt 67%.